Ряды предпочтительных чисел — Inzhener-Info

Основой стандартизации являются ряды чисел, подчиняющихся определенным закономерностям. В арифметических рядах каждый член образуется прибавлением к предыдущему члену постоянного числа (разность прогрессии) τ.

Величина любого члена ряда а_k = а₀ + kτ, где k — порядковый номер члена; a₀ — первый член ряда, которому присваивается нулевой номер.

На рис. 11, а показаны арифметические ряды с а₀ = 10, τ = 10—1 в диапазоне k = 0—30. При τ = 5 арифметический ряд в диапазоне наиболее употребительных в машиностроении диаметров D = 10—100 мм следующий: 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50; 55; 60; 65; 70; …. 100.

Арифметические ряды отличаются относительной неравномерностью. Их верхние области больше насыщены градациями размеров, а нижние — меньше. Отношение каждого члена ряда к предыдущему имеет большое значение для первых членов ряда и резко уменьшается в верхних областях ряда.

Неравномерность можно отчасти исправить изменением величины τ для различных областей ряда. Так, для приведенного выше ряда в диапазонах D<20, D = 20—50 и D = 50—100 мм можно принять соответственно τ = 2,5; 5 и 10. Тогда получается ряд 10; 12,5; 15; 17,5; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50; 60; 70; 80; 90; 100 с более равномерной градацией размеров.

В рядах, построенных по принципу геометрической прогрессии, каждый член ряда получается умножением предыдущего члена на постоянную величину ϕ (знаменатель прогрессии).

Основные ряды. ГОСТ 8032—84 устанавливает пять рядов предпочтительных чисел со знаменателем прогрессии

. Степени n корня приняты равными 5, 10. 20, 40 и 80. Эти числа вместе с буквой R составляют обозначение ряда:

Любой член ряда a_k = a₀ϕ^k, где k — порядковый номер члена; а₀ — первый член ряда, которому присваивают нулевой номер.

С уменьшением ϕ интервалы между членами ряда уменьшаются, число членов ряда возрастает; ряд получается более дробным (рис. 11, б).

Основные ряды предпочтительных чисел в диапазоне 1—10:

R5: 1; 1,6; 2,5; 4; 6,3; 10.

R10: 1; 1,25; 1,6; 2; 2,5; 3,15; 4; 5; 6,3; 8; 10.

R20: 1; 1,12; 1,25; 1,4; 1,6; 1,8; 2; 2,24; 2,5; 2,8; 3,15; 4; 4,5; 5; 5,6; 6,3; 7,1; 8; 9; 10.

R40: 1; 1,06; 1,12; 1,18; 1,25; 1,32; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9; 2; 2,12; 2,24; 2,36; 2,5; 2,65; 2,8; 3; 3,15; 3,35; 3,55, 3,75; 4; 4,25; 4,5; 4,75; 5; 5,3; 5,6; 6; 6,3; 6,7; 7,1; 7,5; 8; 8,5; 9; 9,5; 10.

R80; 1; 1,03; 1,06; 1,08; 1,12; 1,15; 1,18; 1,2; 1,25; 1,28; 1,36; 1,4 и т. д.

Численные значения членов всех рядов округлены с погрешностью не более ±1%. Каждый более низкий ряд получается изъятием членов через один из ближайшего более высокого ряда.

Производные ряды. Из основных рядов можно получить геометрические ряды для любого диапазона чисел, т. e. с любым значением начального и конечного членов. В соответствии с основным законом образования геометрических прогрессий производные ряды получают умножением первого члена нового ряда на числа любого из основного ряда (R5, R10 и т. д.) вплоть до получения значения 10а, которое, в свою очередь, умножают на числа того же основного ряда и т. д.

Для примера приводим производный ряд с диапазоном 1—1000 на основе ряда R5: 1; 1,6; 2,5; 4; 6,3; 10; 16; 25; 40; 63; 100; 160; 250; 400; 630; 1000.

Ряды на основе геометрической прогрессии можно разделить путем отбора m-х членов (m — порядковый номер, кратный любому целому числу). В результате образуется новый ряд со знаменателем ϕ^m. Примером такого разрежения являются основные ряды предпочтительных чисел.

Ряды R20 (ϕ^m = 1,06² = 1,12), R10 (ϕ^m = 1,06⁴ = 1,25), R5 (ϕ^m = 1,06⁸ = 1,6) получают отбором из ряда R40 (ϕ = 1,06) всех членов с порядковыми номерами, кратными соответственно 2, 4, 8. Отбором из ряда R40 членов с порядковыми номерами, кратными 3, 6, 9, можно получить соответственно ряды со знаменателями:

ϕ^m = 1,06³ = 1,19;

ϕ^m = 1,06⁶ = 1,41;

ϕ^m = 1,06⁹ = 1,68.

Образование производных рядов возможно и другими способами. При возведении членов геометрической прогрессии в любую степень получают новую прогрессию, но с иным знаменателем. Так, при возведении членов ряда R5 в квадрат получают прогрессию со знаменателем 2,56: 1; 2,56; 6,25; 16; 39,7; 100.

Таким образом, если линейные размеры ряда деталей образуют геометрическую прогрессию, то значения сечений, объемов, массы, моментов сопротивления и моментов инерции сечений также образуют геометрические прогрессии, но с иными знаменателями и иными первыми и последними членами.

Нормальные линейные размеры. На базе основных рядов разработаны ряды нормальных линейных размеров (ГОСТ 6636—69) с несколько большим округлением чисел по сравнению с основными. В отличие от основных ряды нормальных размеров обозначают буквой а:

Ra 5: 0,1; 016; 0,25; 0,4, 0,63; 1; 1,6; 2,5, 4; 6,3; 10; 16; 25; 40; 63; 100.

Ra 10: 0,1; 0,12; 0,16; 0,2; 0,25; 0,32; 0,4; 0,5; 0,63; 0,8; 1; 1,2; 1,6; 2; 2,5; 3,2; 4; 5; 6,3; 8; 10; 12; 16; 20; 25; 32; 40; 50; 80; 100.

Ra 20: 0,1; 0,11; 0,12; 0,14; 0,16; 0,18; 0,2; 0,22; 0,25; 0,28; 0,32; 0,36; 0,4; 0,45; 0,5; 0,56; 0,63; 0,71; 0,8; 0,9; 1 и т. д. с повышением цифр на один порядок.

Ra 40: 0,1; 0,105; 0,11; 0,115; 0,12; 0,13; 0,14; 0,15; 0,16; 0,17; 0,18; 0,19; 0,2; 0,21; 0,22; 0,24; 0,25; 0,26, 0,28; 0,3; 0,32; 0,34; 0,36; 0,38; 0,4; 0,42; 0,45; 0,48; 0,5; 0,53; 0,56; 0,6; 0,63; 0,67; 0,71; 0,75; 0,8; 0,85; 0,9; 0,95; 1; 1,05; 1,1; 1,15; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5 и т. д.

ГОСТ 6636—69 охватывает линейные размеры в интервале 0,001—20000 мм.

Применение стандартных линейных размеров целесообразно для поверхностей, подвергаемых точной механической обработке, особенно для посадочных поверхностей, что способствует стандартизации режущего, контрольного и мерительного инструмента и облегчает настройку станков.

Главный экономический выигрыш получается при сокращении числа членов рядов, т. е. при применении в каждом отдельном случае наиболее низкого ряда, обеспечивающего нужный диапазон размеров и, следовательно, сокращение номенклатуры инструмента.

Меньшее значение имеют нормальные размеры для поверхностей, не нуждающихся в точной координации.

На основании нормальных линейных размеров устанавливают ряды диаметров проволоки, прутков, толщины листового проката, линейных размеров сечений фасонного проката.

Применять стандартные ряды для осевых размеров и для размеров необрабатываемых поверхностей (литье, штамповка) нерационально. В этих случаях даже частичная стандартизация размеров, не давая никаких реальных преимуществ, только усложняет процесс проектирования и изготовления деталей.

Ряды предпочтительных чисел при конструировании. Значение рядов предпочтительных чисел для конструирования не следует переоценивать. Некоторые конструкторы считают необходимым применять ряды предпочтительных чисел для стандартизации и для всех областей конструирования. Это неверно.

Ряды предпочтительных чисел целесообразно использовать в случаях, когда требуется создавать ряд градаций какого-либо параметра с равномерной насыщенностью градаций во всех частях ряда (например, передаточных отношений в коробках передач и подач металлорежущих станков).

Однако равномерное распределение градаций не всегда является наиболее рациональным. Правильнее при нормировании технических параметров исходить из плотности распределения применяемости данного параметра.

В качестве примера на рис. 12 приведен график применяемости модулей зубьев в общем машиностроении.

Как видно, 90% всех применяемых колес имеют модуль в пределах m = 1—5 мм. Максимум применяемости приходится на колеса с модулем 2—3 мм. В данном случае целесообразно увеличить число градаций в области наибольшей применяемости и сократить число градации для редко применяемых модулей. В других отраслях машиностроения (приборостроение, тяжелое машиностроение) соотношения могут быть иными. В каждой отрасли можно установить плотность распределения применяемости и соответственно выбрать градации стандартных модулей. Такой же дифференцированный подход в сущности необходим и для других нормируемых в машиностроении параметров (размеры посадочных диаметров, резьб и др.).

Ряды предпочтительных чисел неприменимы для создания унифицированных рядов машин с повторяющимися рабочими органами. Параметры унифицированных рядов складываются по другим законам, зависящим от реальных возможностей сочетания унифицированных органов и условий технической применяемости членов ряда, и не могут уложиться в геометрическую прогрессию.

Параметрические ряды необходимо строить с учетом применяемости различных категорий машин, степени их гибкости и т. д. Формальное применение геометрических прогрессий может привести к большим ошибкам.

Неприменимы ряды предпочтительных чисел и для определения параметров прогрессивно развиваемых и модернизируемых машин, параметры которых на каждой стадии зависят от технических возможностей и потребностей соответствующих отраслей народного хозяйства. Так, мощность тепловых машин зависит от их начальных параметров (давления и температуры) и частоты вращения. Ни один из этих параметров невозможно произвольно увеличить. В некоторых случаях они имеют оптимальное значение (например, степень сжатия в газовых турбинах) изменение которого ухудшает показатели машины. Увеличение температуры и частоты вращения возможно только на базе технических усовершенствований (повышения жаропрочности материалов, улучшения охлаждения термически напряженных деталей). Результаты этих поисковых работ невозможно уложить в ряды предпочтительных чисел.

Общий вывод состоит в том, что параметры стандартных элементов следует выбирать не на основе априорных закономерностей, а исходя из конкретных условий их применяемости.

21. Ряды предпочтительных чисел. Параметрические ряды. Ряды Ренара, их положительные свойства. Система предпочтительных чисел

Теоретической
базой современной стандартизации
является система предпочтительных
чисел.
Предпочтительными числами называются
числа, которые рекомендуется выбирать
преимущественно перед всеми другими
при назначении величин параметров для
вновь создаваемых изделий.

В науке
и технике широко применяются ряды
предпочтительных чисел, на основе
которых выбирают предпочтительные
размеры. Ряды предпочтительных чисел
нормированы ГОСТом 8032, который разработан
на основе рекомендаций ИСО. По этому
стандарту установлено четыре основных
десятичных ряда предпочтительных чисел
(R5, R10, R20, R40) и два дополнительных (R80,
R160), применение которых допускается
только в отдельных, технически обоснованных
случаях. Эти ряды построены по
геометрической прогрессии со знаменателем
,
равным:

 =


для ряда R5 (1,00; 1,60; 2,50; 4,00 …),

 =


для ряда R10 (1,00; 1,25; 1,60; 2,00 …),

 =


для ряда R20 (1,00; 1,12; 1,25; 140; …),

 =


для ряда R40 (1,00; 1,06; 1,12; 1,18 …),

 =

для
ряда R80 (1,00; 1,03; 1. 06; 1,09 …),

 =

для
ряда R160 (1,00; 1,015; 1,03; 1,045 …).

Они являются
бесконечными как в сторону малых, так
и в сторону больших значений, т. е.
Допускают неограниченное развитие
параметров или размеров в направлении
их увеличения или уменьшения.

Номер
ряда предпочтительных чисел указывает
на количество членов ряда в десятичном
интервале (от 1 до 10). При этом число 1,00
не входит в десятичный интервал как
завершающее число предыдущего десятичного
интервала (от 0,10 до 1,00).

Допускается
образование специальных рядов путем
отбора каждого 2,3 или n-го числа из
существующего ряда. Так образуется ряд
R10/3, состоящий из каждого третьего
значения основного ряда, причем начинаться
он может с первого, второго или третьего
значения, например:

R10 1,00; 1,25; 1,60;
2,00; 2,50; 3,15; 4,00; 5,00; 6,30; 8,00; 10,00; 12,50

R10/3 1,00;
2,00; 4,00; 8,00

R10/3 1,25;
2,50; 5,00; 10,00

R10/3 1,60;
3,15; 6,30;
12,50.

Можно
составлять специальные ряды с разными
знаменателями геометрической прогрессии

в различных интервалах ряда. Геометрическая
прогрессия имеет ряд полезных свойств,
используемых в стандартизации.

1. Относительная
   разность между любыми соседними членами
   ряда постоянна. Это свойство вытекает
   из самой природы геометрической

прогрессии.
Например, в ряде 1 –2 – 4 – 8 – 16 – 32 –
64 — … с 
= 2 любой член прогрессии больше
предыдущего на 100%.

2. Произведение
   или частное любых членов прогрессии
   является членом той же прогрессии. Это
   свойство используется при увязке между
   собой стандартизованных параметров в
   пределах одного ряда предпочти-тельных
   чисел. Согласованность параметров
   является важным критерием качественной
   разработки стандартов. Геометрические
   прогрессии позво-ляют согласовывать
   между собой параметры, связанные не
   только линей-ной, но также квадратичной,
   кубичной и другими зависимостями.

По
ГОСТу 8032 допускается в технически
обоснованных случаях производить
округление предпочтительных чисел
путем применения рядов R^и
R^
вместо основных рядов R. В ряду R^отдельные
предпочтительные числа заменены
величинами первой степени округления,
а в ряду R^
— второй степени округления.

В
радиоэлектронике часто применяют
предпочтительные числа, построенные
по рядам Е. Они установлены Международной
электротехнической комиссией (МЭК) и
имеют следующие значения знаменателя
геометрической прогрессии:

для
ряда Е3 
=
;
для ряда Е6 
=
;

для
ряда Е12 
=
;
для ряда Е24 
=

При
стандартизации иногда применяют ряды
предпочтительных чисел, построенные
по арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия положена в
основу образования рядов размеров в
стоительных стандартах, при установлении
размеров изделий в обувной и швейной
промышленности и т. п. Иногда используют
ступенчато-арифметические прогрессии
с неодинаковыми разностями прогрессии.
Такую прогрессию образуют, например,
монеты достоинством 1 – 2 – 3 – 5 – 10 –
15 – 20 коп.

Для выбора
номинальных линейных размеров изделий
(диаметров, длин, высот и т. п.) на основе
рядов предпочтительных чисел разработан
ГОСТ 6636 “Нормальные линейные размеры”
для размеров от 0,001 до 100000 мм. Ряды в этом
стандарте обозначены как Ra5, Ra10, Ra20, Ra40
и Ra80.

Государственный
стандарт на предпочтительные числа
имеет общепромышленное значение, и его
необходимо применять во всех отраслях
народного хозяйства при установлении
параметров, числовых характеристик и
количественных показателей всех видов
продукции. Использование предпочтительных
чисел способствует ускорению процесса
разработки новых изделий, так как
упрощает расчеты и облегчает выбор
рациональных параметров и числовых
характеристик в процессе проектирования.

Параметрическая стандартизация, Выбор и обоснование параметрических рядов стандартизуемых объектов, Система предпочтительных чисел и требования, предъявляемые к рядам предпочтительных чисел — Метрология, стандартизация и сертификация

2. 2. Параметрическая стандартизация

2.2.1. Выбор и обоснование параметрических рядов стандартизуемых объектов

Параметрическая стандартизация — это деятельность, направленная на выбор и установление целесообразных численных значений параметров, подчиняющихся строго определенной математической закономерности.

Для современного производства характерна широкая номенклатура выпускаемых изделий. В ряде случаев выпуск чрезмерно большой номенклатуры изделий, сходных по назначению и незначительно отличающихся конструктивным исполнением, удорожает их производство, затрудняет унификацию, удлиняет сроки подготовки производства и т. п.

Основой для сокращения номенклатуры и числа типоразмеров производимых изделий являются стандарты на ряды основных параметров (параметрические ряды) этих изделий.

Параметры изделий делятся на основные и главные, причем главные выделяются из числа основных.

Основные параметры определяют характерные конструктивно-технологические и эксплуатационные свойства изделий и процессов.

В качестве главных принимают такие основные параметры, которые отличаются стабильностью при технических усовершенствованиях, не зависят от применяемых материалов и технологии изготовления и наиболее полно характеризуют конструктивно-технологические и эксплуатационные свойства изделий и процессов.

В зависимости от назначения и особенности конструкции изделия может быть один или несколько главных параметров.

Например, для металлорежущих станков главными параметрами будут размеры устанавливаемой заготовки, величина перемещения рабочих органов за один рабочий цикл, размеры рабочей поверхности стола, усилие, развиваемое рабочими органами.

Так как одними главными параметрами нельзя достаточно полно характеризовать изделие, то наряду с главными параметрами для характеристики изделий используются и основные параметры. Применительно к металлорежущим станкам, к основным параметрам, в частности, можно отнести: размеры, определяющие взаимозаменяемость технологической оснастки, частоту вращения или число двойных ходов в минуту, конструктивный вес станка и т. п.

В табл. 2.1 приведены основные параметры, которые установлены на основе анализа большого числа параметрических стандартов машин разного функционального назначения.

Параметрические ряды машин, приборов и других объектов стандартизации рекомендуется строить на базе предпочтительных чисел.

2.2.2. Система предпочтительных чисел и требования, предъявляемые к рядам предпочтительных чисел

Предпочтительные числа и ряды предпочтительных чисел являются основанием для выбора величин и градаций параметров всех видов продукции, что позволяет наилучшим образом согласовать и увязать между

2.1. Примеры основных параметров металлообрабатывающего оборудования

собой изделия, полуфабрикаты, материалы, транспортные средства, технологическое, контрольно-измерительное и другое оборудование.

Использование предпочтительных чисел при конструировании обеспечивает предпосылки для обеспечения взаимозаменяемости деталей и сборочных единиц, для унификации конструкций машин.

Ряды предпочтительных чисел удовлетворяют следующим требованиям: предоставляют рациональную систему градаций, которая отвечает потребности производства и эксплуатации; являются неограниченными как в направлении уменьшения, так и в направлении увеличения чисел, т. е. допускают неограниченное развитие параметров или размеров в направлении увеличения и направлении уменьшения; включают все десятичные кратные или дробные значения любого числа, а также единицу; являются простыми и легко запоминаются.

Перечисленными свойствами обладают числа, которые являются геометрическими прогрессиями. Ряды таких чисел включают целые степени десяти и имеют знаменатели прогрессии, равные

Основные, производные, ограниченные и составные ряды. Установлено четыре основных десятичных ряда предпочтительных чисел:

Каждый член ряда получают путем умножения предыдущего члена на знаменатель прогрессии (р.

В некоторых технически обоснованных случаях допускается использование дополнительного ряда предпочтительных чисел Д80 — (р = 1,03.

Номер ряда предпочтительных чисел (Д5, Д10, Д20, Д40, Д80) указывает на количество чисел в десятичном интервале (интервал, в котором числа ряда увеличиваются в десять раз). Так, ряд ЛЧО содержит в десятичном интервале 10 чисел.

2.2. Предпочтительные числа основных рядов R5-R40

Например, ряд #5 составляют числа с номерами 0-8-16-24-32-40; ряд #10 числа: 0-4-8-12-16-20-24-28-32-36-40 и т. д.

В ряды предпочтительных чисел входит округленное значение числа л число 3,15 (номер 20 в табл. 2.2). Ошибка округления 0,03 %. Возможность использования этого числа в стандартизации обеспечивает согласование параметров и размеров, связанных не только линейными, но и степенными зависимостями. Длины окружностей, площади кругов, объемы и т. д. также являются предпочтительными числами.

В соответствии с рекомендациями ИСО/Р497 «Руководство по выбору рядов предпочтительных чисел», содержащих более округленные значения предпочтительных чисел, допускается использовать в технически обоснованных случаях более округленные значения чисел, входящих в основной ряд, путем применения рядов первой (#’) и второй (А*») степени округления.

Производные ряды предпочтительных чисел. Производные ряды предпочтительных чисел используются в практике тогда, когда ни одна градация основных рядов не удовлетворяет поставленным требованиям.

Производные ряды образуются из основных (или дополнительных) путем отбора каких-либо членов из основного ряда. В обозначении производного ряда после наклонной черты указывается порядковый номер систематически отбираемого из ряда члена. Например, ряд #20/2 состоит из каждого второго значения основного ряда, причем начинаться он может с любого значения.

Ограниченные ряды предпочтительных чисел. Если основной или дополнительный ряд предпочтительных чисел ограничены сверху или снизу, то такие ряды называются ограниченными. Например:

#20(100-250) — основной ряд #20, ограниченный членом 100 в качестве нижнего предела и членом 250 в качестве верхнего предела;

/220(1, 6…) — основной ряд #20, ограниченный членом 1,6 в качестве нижнего предела и неограничен в направлении увеличения;

#20(. ..160…) — основной ряд #20 с обязательным включением в него члена 160, но неограниченного с обеих сторон.

По аналогии обозначаются ограниченные производные ряды. Например, #20/4(100-250) — производный ряд, полученный путем отбора каждого пятого члена основного ряда R20 и ограниченный числом 100 в качестве нижнего предела и числом 250 в качестве верхнего предела.

В электротехнике используются ряды предпочтительных чисел, отличающиеся от рассмотренных выше. Международная электротехническая комиссия (МЭК) установила предпочтительные числа по рядам £3, £б, £12, £24, £48, £96 и £192 (табл. 2.3). Наиболее широкое применение имеют первые четыре ряда.

Ряды £ построены на базе геометрической прогрессии со

2.3. Числа ряда F24 в десятичном интервале

предпочтительных номеров

предпочтительный номер

Объекты часто изготавливаются в виде серии размеров с возрастающей величиной. Производитель должен решить, какими должны быть эти размеры. Примером такого ряда является тот, который часто используется для денег и упаковки: 1, 2, 5, 10. Привлекательность ряда заключается в его отношении к десятичной системе валюты; все числа делятся без остатка на десять. Нет трех- или тридцатидолларовой купюры.

При выборе чисел для серии людям нравятся числа, легко выражаемые словами; например, целые числа. Раньше также было сильное предпочтение, чтобы у самого большого числа в ряду было много простых множителей, как у 12 или 60, но распространение математических наук и особенно электроники ослабило это предпочтение. Десятичные числа победили. До 20 ^-й -й век, многие ряды размеров шли путем удвоения, но первоначальные, 18 ^-й -й век, правила употребления метрической системы не позволяли использовать обыкновенные дроби с ее единицами, хотя все это делают (полкило , например, универсальный).

Люди также ожидают, что разница между соседними размерами будет постоянной. По этой причине, если ряд размеров должен охватывать широкий диапазон, люди, вероятно, захотят, чтобы соседние размеры отличались постоянным коэффициентом, составив геометрический или экспоненциальный ряд, такой как 3, 6, 12. Альтернативой является ряд в соседние числа которых отличаются на постоянную величину (арифметический ряд, например 3, 5, 7). Размеры обуви, например, являются арифметической последовательностью во всех культурах просто потому, что длина стопы варьируется лишь в небольшом диапазоне.

Если первый размер равен 10,
геометрический ряд может достигать 100 за 5 шагов, делая соседние размеры
отличаться на коэффициент , то есть умножить предыдущий размер примерно на 1,58.

Если первый размер равен 10, арифметическая последовательность может достигать 100 за 5 шагов, если соседние размеры отличаются на 18, то есть прибавляя 18 к предыдущему размеру.

Арифметический ряд размеров приводит к тому, что малые размеры находятся слишком далеко друг от друга, а большие — слишком близко друг к другу.

Серия 9, соответствующая международным стандартам0019

В 1877 году французский военный инженер полковник Шарль
Ренару (1849–1905) поручили улучшить привязные воздушные шары. (В те дни армии использовали такие воздушные шары для наблюдения за позициями противника.) Он обнаружил, что для швартовки воздушных шаров использовалось 425 канатов различных размеров, что представляло собой логистический кошмар, и приступил к поиску лучшего способа сократить их количество до меньшего количества. размеры.

Определив, что релевантной характеристикой кабеля является его масса на единицу длины, Renard удалось заменить 425 размеров на 17 размеров, охватывающих тот же диапазон. Для этого он составил размеры в виде геометрического ряда, в котором на каждом пятом шаге масса единицы длины троса увеличивалась в десять раз:

что дает

а, 1.5848а, 2.5119а, 3.9811а, 6.3096а, 10а

Если положить а = 10 и округлить до целых чисел, то получится ряд

10, 16, 25, 40, 63, 100

, который кинематографисты узнают как старую последовательность фокусных расстояний объектива.
для 16-мм кинокамер.

Соотношение между соседними элементами в геометрическом ряду не обязательно должно основываться на корне из 10. Например, в западной музыкальной шкале каждый двенадцатый член в ряду увеличивает частоту в два раза, поэтому соотношение между любые два соседних термина (т. е. примечания) равны

.

В ряду «столовая ложка, жидкая унция, четверть чашки, жабра, чашка, пинта, кварта, горшок, галлон» соотношение между соседними терминами равно 2, что было наиболее распространенным соотношением до появления десятичного исчисления.

Для пользователей десятичной системы единиц, таких как СИ,
Ряд Ренара гораздо полезнее этих других геометрических рядов, потому что он начинается с 10 и заканчивается на 100. ISO приняла ряд Ренара в качестве основы для предпочтительных чисел для использования при установлении метрических размеров. Обозначения серии, которую они определили, начинаются с «R» как дань уважения Ренару, а серия называется «серия Ренар».

ISO определил четыре основных серии предпочтительных номеров:

• R5: 10, 16, 25, 40, 63, 100.
• R10: 10, 12,5, 16, 20, 25, 31,5, 40, 50, 63, 80, 100.
• R20: 10, 11,2 12,5, 14, 16, 18, 20, 22,4, 25, 28, 31,5, 35,5, 40, 45, 50, 56, 63, 71, 80, 90, 100.
• R40: 10, 10,6, 11,2, 11,8, 12,5, 13,2, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21,2, 22,4, 23,6, 25, 26,5, 28, 30, 31,5, 33,5, 37,5, 35,5 , 40, 42,5, 45, 47,5, 50, 53, 56, 60, 63, 67, 71, 75, 80, 85, 90, 95, 100.

Он также определил исключительную серию R80 с 81 значением, которая мало используется.

Также определены закругленные серии; они обозначаются штрихом после R.

• R′10: 10, 12,5, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 63, 80, 100.
• R′20: 10, 11, 12,5, 14, 16, 18, 20, 22, 25, 28, 32, 36, 40, 45, 50, 56, 63, 71, 80, 90, 100.
• R′40:10, 10.5, 11, 12, 12.5, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 28, 30, 32, 34, 36 , 38, 40, 42, 45, 48, 50, 53, 56, 60, 63, 67, 71, 75, 80, 85, 90, 95, 100.

Еще более округлый ряд обозначается двумя штрихами после R:

• R″5: 10, 15, 25, 40, 60, 100.
• R″10:10, 12, 15, 20, 25, 30, 40, 50, 60, 80, 100.
• R″20:10, 11, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 35, 40, 45, 50, 50, 55, 60, 70, 80, 90, 100.

Эти предпочтительные числовые серии могут быть преобразованы в размеры несколькими способами. Часто их умножают или делят на число, кратное десяти (например, 1000, 1600, 2500, 4000, 6300, 10000; 1,0, 1,6, 2,5, 4,0, 6,3, 10). Иногда выбирается часть диапазона, и в этом случае ряд обозначается включением двух концов диапазона в
круглые скобки после числа R, например: «R40 (14..20)».

Иногда можно выбрать ряд размеров, взяв каждое второе значение в ряду, или каждое третье, или четвертое, или так далее. В обозначении такой выборки размер пропуска указывается цифрой после косой черты. Например, «R5/3» означает серию, состоящую из каждого третьего значения в серии R5. Такое обозначение должно включать хотя бы один конец ряда. Например, R5/2 (10…400) будет означать серию 10, 25, 63, 160, 400.

стандарты

ISO 3-1973, Предпочтительные номера – Серия предпочтительных номеров.

ISO 17-1973, Руководство по использованию предпочтительных номеров и серий предпочтительных номеров.

ISO 497-1973, Руководство по выбору серий предпочтительных чисел и серий, содержащих более округленные значения предпочтительных чисел.

ANSI Z17.1-1973, Американский национальный стандарт предпочтительных номеров.

для дальнейшего чтения

А. Ван Дейк.
Предпочтительные номера.
Известия Института радиотехников , том 24 , стр. 159-179
(февраль 1936 г.)

К. Ф. Хиршфельд и Ч. Х. Берри.
Стандартизация размера по
предпочтительные номера.
Машиностроение , том. 44 , нет. 12
(декабрь 1922 г.), стр. 791.

домой | индекс номеров | поиск |
контакт  |
участники |
помощь | конфиденциальность | условия использования

Copyright © Sizes, Inc. , 2000–2014. Все права защищены.
Последняя редакция: 10 июня 2014 г.

стандартных номиналов резисторов | Блог Math Encounters

Цитата дня

Никогда не мешайте кому-либо делать то, что, по вашему мнению, нельзя сделать.

— Амелия Эрхарт

Введение

Рисунок 1: График резисторов серии E12
(источник).

Я проектировал схемы с резисторами с детства, работая над проектами для научных выставок — я до сих пор помню, как создавал свой первый проект фотоэлемента Radio Shack. Хотя я всегда думал о резисторах как о простых устройствах, недавно я обнаружил, что у меня неправильное представление о стандартных номиналах резисторов.

До прошлой недели я считал, что значения стандартных номиналов резисторов серии E были выбраны таким образом, чтобы гарантировать, что если мне нужен резистор в пределах x% от определенного значения, мне просто нужно выбрать резистор из набора допусков x% . Например, на рис. 1 показаны значения серии E12 (т. е. ±10 %) — обратите внимание, что каждый диапазон допуска перекрывает соседние диапазоны. Это означает, что вы всегда можете найти значение резистора E12 в пределах 10% от требуемого значения.

Я был немного удивлен, что не смог найти значение E48 (допуск ±2%) в пределах 2% от расчетного значения. Я был так удивлен, что бросил то, что делал, и узнал, как определяются Е-серии номиналов стандартных резисторов. Это было интересное путешествие, которое, как мне показалось, стоит здесь обсудить.

Когда можно найти резистор x% в пределах x% от определенного значения? Ответ: «Это зависит…»

• Для резисторов 20 % (E6), 10 % (E12) и 5 ​​% (E24) всегда можно найти стандартное значение резистора в пределах 20 %, 10 % или 5 %. , соответственно, нужного вам значения.
• Для резисторов 2 % (E48), 1 % (E96) и 0,5 % (E192) вы НЕ всегда сможете найти стандартное значение резистора в пределах 2 %, 1 % или 0,5 % соответственно от значение, которое вы хотите.

Моя цель — продемонстрировать проблему и предложить несколько способов ее решения. Это не имеет большого значения, потому что я могу просто указать резистор на 1% или 0,5%, чтобы приблизиться к нужному мне значению. Меня просто удивило, что стандарт серии Е допускает такие зазоры. Допуск на значение резистора просто означает, что производитель гарантирует, что значение резистора находится в пределах допуска % от этого конкретного значения. Для данной серии это не означает, что вы можете найти конкретное значение резистора в пределах допустимого диапазона стандартного значения сопротивления.

Фон

Определения

Допуск

В технике допуск — это допустимый предел или пределы изменения некоторого параметра системы или компонента (Источника). Допуск часто, но не всегда, выражается в процентах допустимого отклонения от заданного значения. Все параметры системы подвержены случайным изменениям, и проектировщик должен с этим справляться.

Относительная ошибка в процентах (ошибка приближения)

Относительная процентная ошибка (символ δ) в процентном расхождении между точным значением и некоторым приближением к нему (Источник). Обычно мы вычисляем относительную процентную ошибку с помощью уравнения , где x — это желаемое значение, а x _{приблизительно} — приблизительное значение.

Предпочтительный номер

Предпочтительные числа — это стандартные рекомендации по выбору точных размеров продукта в рамках заданного набора ограничений (Источник).

Номера Ренарда

Система предпочтительных чисел Ренара, принятая в 1952 году в качестве международного стандарта ISO 3, делит интервал от 1 до 10 на 5, 10, 20 или 40 шагов. Множитель между двумя последовательными числами в ряду Ренара приблизительно постоянен (до округления), а именно 5-й, 10-й, 20-й или 40-й корень из 10 (приблизительно 1,58, 1,26, 1,12 и 1,06 соответственно), что приводит к геометрической последовательность. Таким образом, максимальная относительная ошибка минимизируется, если произвольное число заменить ближайшим числом Ренара, умноженным на соответствующую степень 10 (Источник).

Серия E

В электронике стандарт IEC 60063 определяет предпочтительную числовую серию для напряжений резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности и стабилитронов, которая подразделяет интервал от 1 до 10 на 6, 12, 24, 48, 96 и 192 шага (аналогично подходу к числа Ренара). Эти подразделения гарантируют, что при замене некоторого произвольного значения ближайшим предпочтительным числом максимальная относительная ошибка будет порядка 20 %, 10 %, 5 %, 2 %, 1 %, 0,5 % (Источник).

Здесь важен текст, выделенный желтым цветом — максимальная относительная погрешность лишь приблизительно соответствует допуску — нет гарантии, что предпочтительный номер находится в пределах допустимого диапазона серии резисторов.

Следует также отметить, что фактические значения Е-серии не всегда следуют геометрическому соотношению , где N — номер серии, а i=0 … N-1 . В сериях E6, E12 и E24 некоторые значения были немного изменены (Приложение A). Серии E48 и E96 точно соответствуют геометрическому ряду. В ряду Е192 есть только одно расхождение – 9,20 вместо значения геометрического ряда 9,19 (приложение Б).

Анализ

Абсолютная погрешность в сравнении с допуском

На Рисунке 2 показана максимальная относительная погрешность, которую можно увидеть для данной спецификации допуска производителя. Обратите внимание, что допуски серий E48, E96 и E192 меньше максимальной относительной погрешности.

Рис. 2. Разница между относительным процентом ошибок и производственными допусками.

Графическое представление

Пример E6, показывающий полное покрытие от одного до десяти

На рис. 3 показан набор столбцов, иллюстрирующих диапазон значений, охватываемых каждым номиналом резистора в серии E6. Обратите внимание, что каждый диапазон резисторов перекрывается с соседними диапазонами резисторов. Это означает, что любое значение в диапазоне от 1 до 10 может быть покрыто значением E6 в пределах 20%.

Рисунок 3: График диапазонов значений серии E6.

E48 Пример, показывающий пробелы для некоторых чисел между единицей и десяткой

На рис. 4 показан график, аналогичный рис. 3, но для серии E48 (±2%). В этом масштабе трудно разглядеть, но не существует стандартного значения для каждого значения от одного до десяти в пределах 2%.

Рисунок 4: График диапазонов значений E48.

Мы можем увеличить масштаб на рисунке 4 и показать пример существующих пробелов. В качестве конкретного примера рассмотрим число 8,455. Это на 2,5% отличается от 8,2 и на 2,4% от 8,66, двух ближайших значений E48.

Рисунок 5: Иллюстрация зазоров в E48.

Опять же, это не имеет большого значения, потому что мы можем обойти эту проблему. Однако я был просто удивлен, узнав об этом спустя столько лет.

Обходные пути

Самый простой обходной путь — просто использовать серию сопротивлений с более высоким разрешением. В моем случае я хотел использовать серию E96. Я мог бы также использовать серию E192, которая решила бы проблему. Я должен упомянуть, что некоторые люди используют несколько резисторов для «настройки» значения. Вот несколько примеров схем (рис. 6) от В. Стивена Вудворда. Я опубликовал сообщение в блоге о том, как выбрать правильные номиналы стандартных резисторов, чтобы получить 0,1% от любого номинала резистора в диапазоне от 10 Ом до 1 МОм.

Рис. 6. Получение значения удельного сопротивления с использованием нескольких резисторов (источник).

Заключение

Числа Ренара и их варианты серии E используются для всех видов компонентов, включая конденсаторы, катушки индуктивности и стабилитроны. Это упражнение было полезным, потому что оно показало мне, что есть чему поучиться даже в том, чем я пользуюсь годами.

Приложение A: Геометрические отклонения серий E6, E12, E24

На рис. 7 показаны различия (отмеченные красными овалами) между значениями E6, E12 и E24 и соответствующими геометрическими рядами.

Рис. 7. Красными кружками отмечены различия между сериями E и геометрическими сериями.

Не знаю, почему значения Е6, Е12, Е24 не были установлены равными значениям геометрического ряда. Я предполагаю, что изменение геометрических значений немного улучшило некоторые характеристики, важные для производства. Например, общее перекрытие между соседними значениями больше для значений серии E, чем для значений геометрического ряда. Это, вероятно, уменьшает относительную погрешность и может улучшить выход для трудно контролируемых параметров, таких как напряжения стабилитрона, которые также используют серию E.

Рис. 8: Полное перекрытие больше для значений серии E, чем для значений геометрического ряда.

Приложение B: Геометрические отклонения серий E48, E96, E192

На рисунке 9 показано, что среди значений рядов для E48, E96, E192 имеется только одно несоответствие между стандартными значениями и соответствующим геометрическим рядом (9,19 против 9.20).

Рисунок 9: Одно несоответствие между E48, E96, E192 и соответствующим геометрическим рядом.

Сохранить

Сравнение непараметрических тестов и параметрических тестов

Непараметрические тесты не требуют, чтобы ваши данные соответствовали нормальному распределению. Они также известны как тесты без распространения и могут принести пользу в определенных ситуациях. Как правило, люди, которые выполняют статистические проверки гипотез, более комфортно себя чувствуют с параметрическими тестами, чем с непараметрическими.

Вы, наверное, слышали, что лучше всего использовать непараметрические тесты, если ваши данные не распределены нормально, или что-то в этом роде. Это кажется простым способом выбора, но это еще не все.

В этом посте я сравню преимущества и недостатки, чтобы помочь вам выбрать между использованием следующих типов проверки статистических гипотез:

• Параметрический анализ для оценки групповых средних
• Непараметрический анализ для оценки групповых медиан

В частности, я бы хотел, чтобы вы сосредоточились на одной ключевой причине для выполнения непараметрического теста, которому не уделяется должного внимания! Если вам нужен учебник по основам, прочитайте мой обзор проверки гипотез.

Связанные пары параметрических и непараметрических тестов

Непараметрические тесты — это теневой мир параметрических тестов. В таблице ниже я показываю связанные пары тестов статистической гипотезы.

Кроме того, корреляция Спирмена является непараметрической альтернативой корреляции Пирсона. Используйте корреляцию Спирмена для нелинейных, монотонных отношений и для порядковых данных. Для получения дополнительной информации прочитайте мой пост Объяснение корреляции Спирмена!

Для этой темы крайне важно, чтобы вы понимали концепцию надежного статистического анализа. Узнайте больше в моем посте Что такое надежная статистика?

Преимущества параметрических тестов

Преимущество 1: Параметрические тесты могут давать достоверные результаты с искаженными и ненормальными распределениями

Многие люди не знают об этом факте, но параметрический анализ может давать надежные результаты, даже если ваши непрерывные данные ненормальны распределенный. Вы просто должны быть уверены, что размер вашей выборки соответствует требованиям для каждого анализа в таблице ниже. Эти требования были выявлены в исследованиях с помощью моделирования. Подробнее об этих исследованиях читайте здесь.

Вы можете использовать эти параметрические тесты с ненормально распределенными данными благодаря центральной предельной теореме. Для получения дополнительной информации об этом прочитайте мой пост: Объяснение центральной предельной теоремы.

Связанные сообщения : нормальное распределение и как определить распределение ваших данных.

Преимущество 2: Параметрические тесты могут давать достоверные результаты, когда группы имеют разную степень изменчивости

Это правда, что непараметрические тесты не требуют данных, которые обычно распределяются. Однако недостатком непараметрических тестов является дополнительное требование, которое может быть очень трудно удовлетворить. Группы в непараметрическом анализе обычно должны иметь одинаковую изменчивость (дисперсию). Непараметрический анализ может не давать точных результатов, если вариабельность различается между группами.

И наоборот, параметрический анализ, такой как t-критерий с двумя выборками или однофакторный дисперсионный анализ, позволяет анализировать группы с неравными дисперсиями. В большинстве статистических программ это так же просто, как поставить правильный флажок! При использовании параметрического анализа вам не нужно беспокоиться о группах с различной степенью изменчивости.

Связанный пост : Показатели изменчивости

Преимущество 3: Параметрические тесты имеют большую статистическую мощность

В большинстве случаев параметрические тесты имеют большую мощность. Если эффект действительно существует, параметрический анализ с большей вероятностью его обнаружит.

Связанный пост : Статистическая мощность и размер выборки

Преимущества непараметрических тестов

Преимущество 1: Непараметрические тесты оценивают медиану, которая может быть лучше для некоторых областей исследования

Теперь мы подошли к моей предпочтительной причине, когда использовать непараметрический тест. Тот, который практикующие не обсуждают достаточно часто!

Для некоторых наборов данных непараметрический анализ дает преимущество, поскольку он оценивает медиану, а не среднее значение. Среднее значение не всегда является лучшим показателем центральной тенденции выборки. хотя ты может выполнить допустимый параметрический анализ искаженных данных, что не обязательно означает, что он является лучшим методом. Позвольте мне объяснить, используя распределение заработной платы.

Распределение заработной платы, как правило, смещено вправо. Большая часть заработной платы концентрируется вокруг медианы, которая является точкой, где половина выше, а половина ниже. Тем не менее, есть длинный хвост, который простирается до более высоких диапазонов заработной платы. Этот длинный хвост уводит среднее значение далеко от центрального медианного значения. Два распределения типичны для распределения заработной платы.

Эти два распределения имеют примерно одинаковые медианы, но разные средние значения.

В этих распределениях, если к выборке присоединяются несколько лиц с очень высоким доходом, среднее значение увеличивается на значительную величину, несмотря на то, что доходы большинства людей не меняются. Они по-прежнему группируются вокруг медианы.

В этой ситуации результаты параметрического и непараметрического теста могут давать разные результаты, и оба они могут быть правильными! Для двух распределений, если вы возьмете большую случайную выборку из каждой совокупности, разница между средними будет статистически значимой. Несмотря на это, разница между медианами не является статистически значимой. Вот как это работает.

Для асимметричных распределений изменения хвоста существенно влияют на среднее значение. Параметрические тесты могут обнаружить это среднее изменение. И наоборот, медиана относительно не изменилась, и непараметрический анализ может обоснованно указать, что медиана существенно не изменилась.

Вам необходимо решить, что лучше всего подходит для вашего исследования: среднее или медиана, и какой тип различия важнее обнаружить.

Похожие сообщения : Определение того, какой показатель центральной тенденции лучше всего подходит для ваших данных и медианы: определение и использование

Преимущество 2: Непараметрические тесты действительны, когда размер нашей выборки мал, а ваши данные потенциально ненормальны. что ваши данные следуют нормальному распределению. Имейте в виду, что при небольших размерах выборки тесты на нормальность могут иметь недостаточную мощность для получения полезных результатов.

Ситуация сложная. Непараметрический анализ, как правило, вначале имеет меньшую мощность, а небольшой размер выборки только усугубляет эту проблему.

Преимущество 3: Непараметрические тесты могут анализировать порядковые данные, ранжированные данные и выбросы.

Параметрические тесты могут анализировать только непрерывные данные, и выбросы могут сильно повлиять на результаты. И наоборот, непараметрические тесты также могут анализировать порядковые и ранжированные данные и не сбиваться выбросами. Узнайте больше об порядковых данных: определение, примеры и анализ.

Иногда вы можете законно удалить выбросы из набора данных, если они отражают необычные условия. Однако иногда выбросы являются подлинной частью распределения для изучаемой области, и вам не следует их удалять.

Вы должны проверить предположения для непараметрического анализа, поскольку различные тесты могут анализировать разные типы данных и иметь разные возможности для обработки выбросов.

Если в ваших данных используется порядковая шкала Лайкерта и вы хотите сравнить две группы, прочитайте мой пост о том, какой анализ вы должны использовать для анализа данных Лайкерта.

Похожие сообщения : Типы данных и как их использовать и 5 способов найти выбросы в ваших данных

Преимущества и недостатки параметрических и непараметрических тестов

Многие считают, что выбор между параметрическими и непараметрическими тестами зависит от того, соответствуют ли ваши данные нормальному распределению. Если у вас небольшой набор данных, решающим фактором может быть распределение. Однако во многих случаях эта проблема не является критической по следующим причинам:

• Параметрический анализ может анализировать ненормальные распределения для многих наборов данных.
• В непараметрическом анализе есть и другие твердые допущения, которым может быть труднее соответствовать.

Ответ часто зависит от того, является ли среднее значение или медиана лучшим показателем центральной тенденции распределения ваших данных.