Текстовые задачи на движение – легко! Алгоритм решения и успех на ЕГЭ

Смотри видео «Текстовые задачи на ЕГЭ по математике».

Почему текстовые задачи относятся к простым?

Во-первых, все такие задачи решаются по единому алгоритму, о котором мы вам расскажем. Во-вторых, многие из них однотипны — это задачи на движение или на работу. Главное — знать к ним подход.

Внимание! Чтобы научиться решать текстовые задачи, вам понадобится всего три-четыре часа самостоятельной работы, то есть два-три занятия. Всё, что нужно, — это здравый смысл плюс умение решать квадратное уравнение. И даже формулу для дискриминанта мы вам напомним, если вдруг забыли.

Прежде чем перейти к самим задачам — проверьте себя.

Запишите в виде математического выражения:

1. на больше ;
2. в пять раз больше ;
3. на меньше, чем ;
4. меньше в раза;
5. на меньше, чем ;
6. частное от деления на в полтора раза больше ;
7. квадрат суммы и равен ;
8. составляет процентов от ;
9. больше на процентов.

Пока не напишете — в ответы не подглядывайте! 🙂

Казалось бы, на первые три вопроса ответит и второклассник. Но почему-то у половины выпускников они вызывают затруднения, не говоря уже о вопросах и . Из года в год мы, репетиторы, наблюдаем парадоксальную картину: ученики одиннадцатого класса долго думают, как записать, что « на больше ». А в школе в этот момент они «проходят» первообразные и интегралы 🙂

Итак, правильные ответы:

1. больше, чем . Разница между ними равна пяти. Значит, чтобы получить большую величину, надо к меньшей прибавить разницу.
2. больше, чем , в пять раз. Значит, если умножить на , получим .
3. меньше, чем . Разница между ними равна . Чтобы получить меньшую величину, надо из большей вычесть разницу.
5. меньше, чем . Значит, если из большей величины вычтем разницу, получим меньшую.
7. На всякий случай повторим терминологию:
   Сумма — результат сложения двух или нескольких слагаемых.
   Разность — результат вычитания.
   Произведение — результат умножения двух или нескольких множителей.
   Частное — результат деления чисел.
8. Мы помним, что .
9. Если принять за , то на процентов больше, то есть .

Начнем мы с задач на движение. Они часто встречаются в вариантах ЕГЭ. Здесь всего два правила:

1. Все эти задачи решаются по одной-единственной формуле: , то есть расстояние скорость время. Из этой формулы можно выразить скорость или время .
2. В качестве переменной удобнее всего выбирать скорость. Тогда задача точно решится!

Для начала очень внимательно читаем условие. В нем все уже есть. Помним, что текстовые задачи на самом деле очень просты.

. Из пункта в пункт , расстояние между которыми км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт на часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Что здесь лучше всего обозначить за ? Скорость велосипедиста. Тем более, что ее и надо найти в этой задаче. Автомобилист проезжает на километров больше, значит, его скорость равна .

Нарисуем таблицу. В нее сразу можно внести расстояние — и велосипедист, и автомобилист проехали по км. Можно внести скорость — она равна и для велосипедиста и автомобилиста соответственно. Осталось заполнить графу «время».

Его мы найдем по формуле: . Для велосипедиста получим , для автомобилиста .
Эти данные тоже запишем в таблицу.

Вот что получится:

Остается записать, что велосипедист прибыл в конечный пункт на часа позже автомобилиста. Позже — значит, времени он затратил больше. Это значит, что на четыре больше, чем , то есть

Решаем уравнение.

Приведем дроби в левой части к одному знаменателю.

Первую дробь домножим на , вторую — на .

Если вы не знаете, как приводить дроби к общему знаменателю (или — как раскрывать скобки, как решать уравнение…), подойдите с этим конкретным вопросом к вашему учителю математики и попросите объяснить. Бесполезно говорить учительнице: «Я не понимаю математику» — это слишком абстрактно и не располагает к ответу. Учительница может ответить, например, что она вам сочувствует. Или, наоборот, даст какую-либо характеристику вашей личности. И то и другое неконструктивно.

А вот если вы зададите конкретный вопрос: «Как приводить дроби к одному знаменателю?» или «Как раскрывать скобки?» — вы получите нужный вам конкретный ответ. Вам ведь необходимо в этом разобраться! Если педагог занят, договоритесь о времени, когда вы можете с ним (или с ней) встретиться, чтобы получить консультацию. Используйте ресурсы, которые у вас под рукой!

Получим:

Разделим обе части нашего уравнения на . В результате уравнение станет проще. Но почему-то многие учащиеся забывают это делать, и в результате получают сложные уравнения и шестизначные числа в качестве дискриминанта.

Умножим обе части уравнения на . Получим:

Раскроем скобки и перенесем всё в левую часть уравнения:

Мы получили квадратное уравнение. Напомним, что квадратным называется уравнение вида . Решается оно стандартно — сначала находим дискриминант по формуле , затем корни по формуле

В нашем уравнении , , .

Найдем дискриминант и корни:

, .

Ясно, что не подходит по смыслу задачи — скорость велосипедиста не должна быть отрицательной.

Ответ: .

Следующая задача — тоже про велосипедиста.

2. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города в город , расстояние между которыми равно км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из в . Найдите скорость велосипедиста на пути из в . Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость велосипедиста на пути из в равна . Тогда его скорость на обратном пути равна . Расстояние в обеих строчках таблицы пишем одинаковое — километров. Осталось записать время. Поскольку , на путь из в велосипедист затратит время , а на обратный путь время .

На обратном пути велосипедист сделал остановку на часа и в результате затратил столько же времени, сколько на пути из в . Это значит, что на обратном пути он крутил педали на часа меньше.

Значит, на три меньше, чем . Получается уравнение:

Как и в предыдущей задаче, сгруппируем слагаемые:

Точно так же приводим дроби к одному знаменателю:

Разделим обе части уравнения на

Напомним — если вам непонятны какие-либо действия при решении уравнений, обращайтесь к учительнице! Показывайте конкретную строчку в решении задачи и говорите: «Пожалуйста, объясните, как это делать». Для нее такое объяснение — дело пятнадцати минут, а вы наконец научитесь решать уравнения, что очень важно для сдачи ЕГЭ по математике.

Умножим обе части уравнения на , раскроем скобки и соберем все в левой части.

Находим дискриминант. Он равен .

Найдем корни уравнения:

. Это вполне правдоподобная скорость велосипедиста. А ответ не подходит, так как скорость велосипедиста должна быть положительна.

Ответ: .

Следующий тип задач — когда что-нибудь плавает по речке, в которой есть течение. Например, теплоход, катер или моторная лодка. Обычно в условии говорится о собственной скорости плавучей посудины и скорости течения. Собственной скоростью называется скорость в неподвижной воде.

При движении по течению эти скорости складываются. Течение помогает, по течению плыть — быстрее.

Скорость при движении по течению равна сумме собственной скорости судна и скорости течения.

А если двигаться против течения? Течение будет мешать, относить назад. Теперь скорость течения будет вычитаться из собственной скорости судна.

3. Моторная лодка прошла против течения реки км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна .

Тогда скорость движения моторки по течению равна , а скорость, с которой она движется против течения .

Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно км.

Занесем скорость и расстояние в таблицу.

Заполняем графу «время». Мы уже знаем, как это делать. При движении по течению , при движении против течения , причем на два часа больше, чем .

Условие « на два часа больше, чем «» можно записать в виде:

Составляем уравнение:

и решаем его:

Приводим дроби в левой части к одному знаменателю:

Раскрываем скобки:

Делим обе части на , чтобы упростить уравнение:

Умножаем обе части уравнения на

Вообще-то это уравнение имеет два корня: и (оба этих числа при возведении в квадрат дают ). Но конечно же, отрицательный ответ не подходит — скорость лодки должна быть положительной.

Ответ: .

4. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна км/ч, стоянка длится часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Снова обозначим за скорость течения. Тогда скорость движения теплохода по течению равна , скорость его движения против течения равна . Расстояния — и туда, и обратно — равны км.

Теперь графа «время».

Поскольку , время движения теплохода по течению равно , которое теплоход затратил на движение против течения, равно .

В пункт отправления теплоход вернулся через часов после отплытия из него. Стоянка длилась часов, следовательно, часов теплоход плыл — сначала по течению, затем против.

Значит,

Прежде всего разделим обе части уравнения на . Оно станет проще!

Мы не будем подробно останавливаться на технике решения уравнения. Всё уже понятно — приводим дроби в левой части к одному знаменателю, умножаем обе части уравнения на , получаем квадратное уравнение . Поскольку скорость течения положительна, получаем: .

Ответ: .

Наверное, вы уже заметили, насколько похожи все эти задачи. Текстовые задачи хороши еще и тем, что ответ легко проверить с точки зрения здравого смысла. Ясно, что если вы получили скорость течения, равную километров в час — задача решена неверно.

5. Баржа в вышла из пункта в пункт , расположенный в км от . Пробыв в пункте час минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт в . Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна км/ч.

Пусть скорость течения равна . Тогда по течению баржа плывет со скоростью , а против течения со скоростью .

Сколько времени баржа плыла? Ясно, что надо из вычесть , а затем вычесть время стоянки. Обратите внимание, что час минут придется перевести в часы: час минут часа. Получаем, что суммарное время движения баржи (по течению и против) равно часа.

Возникает вопрос — какой из пунктов, или , расположен выше по течению? А этого мы никогда не узнаем! 🙂
Да и какая разница — ведь в уравнение входит сумма , равная .

Итак,

Решим это уравнение. Число в правой части представим в виде неправильной дроби: .

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю, раскроем скобки и упростим уравнение. Получим:

Работать с дробными коэффициентами неудобно! Если мы разделим обе части уравнения на и умножим на , оно станет значительно проще:

Поскольку скорость течения положительна, .

Ответ: 2.

Еще один тип текстовых задач в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на работу.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Текстовые задачи на движение – легко! Алгоритм решения и успех на ЕГЭ» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Текстовые задачи на движение по прямой — что это, определение и ответ

Задачи на движение – это задачи, в которых присутствуют такие характеристики движения как скорость, время и расстояние, которые связаны следующей формулой:

\(S = \vartheta t\)

где \(S\) – расстояние, \(\vartheta\) – скорость, \(t\) – время.

Через эту формулу можно выражать скорость и время:

\(\ \vartheta = \frac{S}{t}\)

\(t = \frac{S}{\ \vartheta}\)

Особенность движения по прямой заключается в том, что два объекта могут двигаться в одном направлении, а могут двигаться в разных направления (как разъезжаясь друг от друга, так и двигаясь навстречу).

ДВИЖЕНИЕ В РАЗНЫЕ СТОРОНЫ

В таком случае не важно, двигаются ли объекты друг к другу или расходятся друг от друга, важно, что они идут в разные стороны. Результат остается такой же.

Рассмотрим ситуацию, когда два человека находятся в одной точке и начинают удаляться друг от друга, при этом скорость каждого составляется 5 км\ч. Тогда через один час каждый из них пройдет по 5 км. Значит через один час между ними станет 5 км + 5 км = 10 км:

Еще через час они отдалятся еще на 10 км. То есть через два часа расстояние между ними станет равно 20 км:

То есть при движении в разные стороны общая скорость отдаления объектов друг от друга равна сумме их скоростей. В данном случае общая скорость равна 10 км\ч:

\(\vartheta_{общ} = \vartheta_{1} + \vartheta_{2} = 5\ км\backslash ч + 5\ км\backslash ч = 10\ км\backslash ч\)

Таким образом, если нам нужно посчитать, какое расстояние будет между этими объектами через определенное время, нам нужно перемножить их общую скорость и время отдаления.

\(S = \ \vartheta_{общ}t\)

где \(\text{S\ }\)– расстояние между объектами, \(t\) – время, за которое они отдаляются, \(\vartheta_{общ} = \vartheta_{1} + \vartheta_{2}\)

Например, через 3 часа расстояние между этими объектами будет равно:

\(S = 10\ км\backslash ч \bullet 3\ ч = 30\ км\)

То же самое происходит со средней скоростью, когда два объекта находятся на определенном расстоянии и начинают сближаться.

Пример №1:

Два человека находятся на расстоянии 16 км и начинают идти навстречу друг другу. Скорость первого человека равна 3 км\ч, а второго – 5 км\ч. Через сколько часов они встретятся?

1. Рассмотрим, какова их скорость сближения. Для этого посмотрим, на сколько измениться расстояние между ними за один час:

Получается, что расстояние между двумя людьми уменьшилось за час на 3 + 5 = 8 км\ч, то есть на сумму их скоростей. Так мы убедились, что общая скорость расхождения и сближения объектов равна сумме их скоростей.

2. Тогда эти люди встретятся, когда общей скоростью пройдут расстояние в 16 км, т. е.:

\(S = t \bullet \vartheta_{общ}\)

\(16\ км = t \bullet 8\ км\backslash ч\)

\(t = 16\ км : 8\ км\backslash ч = 2\ ч\)

Ответ: 2.

ДВИЖЕНИЕ В ОДНУ СТОРОНУ

Если два человека начинают идти из одной точки в одну сторону с разной скорость, то тот, кто идет медленнее начнет отставать от того, кто идет быстрее. Со временем расстояние между ними будет становиться все больше. Каждый час оно будет расти на разность скоростей людей. Эта разность скоростей будет их общей скоростью.

\(\vartheta_{общ} = \vartheta_{2}\ –\vartheta_{1}\)

Например, два человека идут из одной точки в одном направлении. Скорость первого равна 4 км\ч, а скорость второго равна 6 км\ч. То есть быстрый пешеход пройдет 6 км, а медленный 4. Значит между ними останется 2 км:

Еще через час расстояние между ними увеличится еще на 2 км:

Пример №1:

Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

1. Составим таблицу. Обозначим за \(x\) искомую величину – скорость велосипедиста, тогда скорость автомобилиста равна \(x + 40\):

2. При этом расстояние, которое они проезжают, одинаковое. Оно равно расстоянию между городами А и В, т. е. {2} + 40x\ –500 = 0\)

   7. По т. Виета:

   \({x_{1} + x_{2} = \ –40 }{x_{1}x_{2} = \ –500}\)

   Тогда:

   \(\left. \ \frac{x_{1} = \ –50}{x_{2} = 10} \right\rbrack\)

   8. Проверим корни на адекватность. Мы принимали за \(x\) скорость велосипедиста, но скорость не может быть отрицательной, значит ответом будет являться только корень \(x = 10\). Запишем ответ.

   Ответ: 10.

   Развенчанные мифы об уходе за волосами – красота в прямом направлении

   У каждого человека есть своя процедура ухода за волосами, которую он практикует годами. В то время как некоторые правила ухода за волосами вы все равно должны соблюдать, другие могут оказаться мифом. Эти мифические правила ухода за волосами на самом деле могут принести вашим волосам больше вреда, чем пользы. Мы здесь, чтобы помочь, разрушив некоторые из этих мифов и развенчав их навсегда.

   Частая стрижка заставляет волосы расти быстрее

   Причина, по которой ваши волосы, кажется, становятся длиннее после каждой стрижки, на самом деле не имеет ничего общего с процессом роста. Ваши волосы растут из волосяных фолликулов на коже головы, поэтому технически они всегда растут с одинаковой скоростью, независимо от того, подстригли ли вы недавно волосы или нет.

   Секущиеся тупики удаляются при профессиональной стрижке, делая рост волос более заметным. Когда тупиковые концы не удаляются, они становятся хрупкими и ломаются, из-за чего кажется, что волосы растут медленнее, хотя на самом деле они растут с нормальной скоростью.

    

   Расчесывание делает волосы более блестящими

   Этот миф на самом деле имеет отрицательный эффект. Если расчесывать волосы слишком часто, кутикулы повреждаются, и волосы кажутся тусклыми. Чтобы предотвратить повреждение от расчесывания, начните с нижней части волос и двигайтесь вверх. Всегда избегайте слишком сильного расчесывания кожи головы.

    

   Если удалить один седой волос, на его месте вырастут два новых

   Это распространенный страх, но, к счастью, это миф. Седые волосы вызваны волосяным фолликулом, поэтому его выщипывание временно заставит седые волосы исчезнуть, но это не повлияет на окружающие фолликулы.

    

   Волосы растут быстрее, когда вы спите с ними расправленными

   Рост волос остается неизменным независимо от того, что вы делаете, и это зависит от генетики. Хотя сон с распущенными волосами не влияет на скорость их роста, он защищает волосы от повреждений. Если вы обеспокоены тем, что ваша кожа может вспыхнуть, когда вы спите с распущенными волосами, спите с распущенной косой или хвостиком, чтобы волосы не касались лица.

    

   Сушка феном наносит вред

   Этот миф верен только в том случае, если вы неправильно сушите волосы феном. Не используйте максимальную температуру и не держите фен слишком близко к волосам. Вместо этого сушите феном при низкой температуре и держите фен на расстоянии, чтобы предотвратить чрезмерное повреждение. Используйте высококачественную влагу, чтобы защитить волосы от жары.

    

   Сушка на воздухе лучше, чем сушка феном

   Длительное воздействие воды на волосы приводит к набуханию внутренней части волос. Это на самом деле оказывается более разрушительным в долгосрочной перспективе.

    

   Масло делает волосы жирными

   Если вы наносите масло непосредственно на кожу головы, то да, этот миф верен. Однако небольшое количество масла, нанесенное на кончики волос, не делает их жирными. Напротив, он заставляет его сиять.

    

   Окрашивание во время беременности опасно

   Настоящую опасность представляет вдыхание аммиака, а не его всасывание через кожу головы. Всегда консультируйтесь со своим стилистом, прежде чем решиться на окрашивание волос, чтобы получить профессиональное мнение, а если вы беременны, не красьте волосы дома.

    

   Невосприимчивость продукта

   Многократное использование одного и того же кондиционера и шампуня не делает волосы невосприимчивыми к их воздействию. Волосы мертвы, поэтому иммунитет к чему-либо выработать невозможно.

   Ваш разум может заставить этот миф казаться реальным. Если вы постоянно используете один и тот же продукт, его новизна стирается, и ваше восприятие меняется, заставляя вас думать, что он больше не оказывает полезного действия.

    

   Окраска вызывает повреждение

   В этом мифе есть доля правды, в зависимости от химических веществ в вашей краске для волос. Вот почему жизненно важно обратиться к специалисту для решения ваших задач по окрашиванию; таким образом они могут оценить потребности вашей кожи головы и выбрать краску, которая не повредит и не обожжет кожу головы.

    

   Сухой шампунь лучше для кожи головы, чем обычный

   С ростом популярности сухого шампуня, понятно, что всплывает несколько мифов. Реальность такова, что сухой шампунь не очищает волосы, а делает их чистыми.

   Кожа головы нуждается в увлажнении, что достигается с помощью правильного шампуня. Сохраните сухой шампунь на тот случай, когда вам действительно будет трудно, но все же регулярно мойте волосы для здоровой кожи головы.

    

   Облысение у мужчин наследуется от их матери

   Исследователи подозревают, что облысение является результатом множественных генов от обоих родителей. Старое представление о том, что облысение передается по материнской Х-хромосоме, не имеет научных доказательств.

    

   Перхоть означает сухую кожу головы

   Вопреки распространенному мнению, перхоть на самом деле является результатом жирной, а не сухой кожи головы. Дрожжи, вызывающие образование перхоти, процветают в жирной среде, поэтому уменьшение частоты мытья головы для уменьшения перхоти дает противоположный эффект.

   Если вы боретесь с перхотью, используйте специальный шампунь против перхоти.

    

   Товары, изготовленные или предназначенные для представителей определенной расы/этнической принадлежности, не могут использоваться лицами другого происхождения

   Ингредиенты в продукте имеют гораздо большее значение, чем то, кому продукт продается. На самом деле, большинство продуктов содержат один и тот же набор из трех-пяти основных ингредиентов. Продукты для «этнических» типов волос, как правило, более увлажняющие и содержат больше масел и белков, чем продукты для других типов волос. Поврежденные волосы нуждаются в хорошей дозе влаги, протеинов и масла, чтобы восстановить свой здоровый вид.

   То же самое относится и к продуктам, предназначенным для людей с окрашенными волосами. Даже если ваши волосы не окрашены, использование продукта для окрашенных волос может быть полезным, потому что формулы этих шампуней, как правило, более мягкие (чтобы сохранить легко смываемый цвет волос), а кондиционеры, как правило, являются суперкондиционирующими, но легкими, чтобы помочь. уменьшить сухость от процесса окрашивания.

   Straight-ahead Определение и значение — Merriam-Webster

   ˈstrāt-ə-ˈhed 

   : относящийся к музыке, исполняемой в неприукрашенной манере, типичной для данной идиомы или исполнителя

   широко

   : простой

   Примеры предложений

   Недавние примеры в Интернете

   Рулевое управление хорошо режет, и это хорошо прямолинейный смысл делает XE очень устойчивым на шоссе.

   — Рич Сеппос, Автомобиль и водитель , 12 апреля 2023 г.

   Танк Бигсби, Оберн Бигсби (6-0, 210) — качественный бегун по прямой , который может быстро срезать и менять направление.

   — Крис Перкинс, Sun Sentinel , 5 апреля 2023 г.

   Но многие люди, которые до сих пор сидят перед телевизором, ищут нечто большее, чем девятку.0139 прямо обсуждение новостей.

   — Стивен Баттальо, Los Angeles Times , 16 марта 2023 г.

   Рожденный на бруклинской DIY-сцене в 2010-х, Thick представляет собой равные части Blink-182 и Bikini Kill: прямолинейного панка, напоминающего о расцвете альтернативного рока.

   — Крис Келли, Washington Post , 1 марта 2023 г.

   Эти примеры программно скомпилированы из различных онлайн-источников, чтобы проиллюстрировать текущее использование слова «прямо вперед». Любые мнения, выраженные в примерах, не отражают точку зрения Merriam-Webster или ее редакторов. Отправьте нам отзыв об этих примерах.

   История слов

   Первое известное использование

   1836, в значении, определенном выше

   Путешественник во времени

   Первое известное использование прямо был
   в 1836 г.

   Посмотреть другие слова того же года
   прямой акцент

   прямо

   прямой и узкий

   Посмотреть другие записи рядом 

   Процитировать эту запись

   Style

   MLAChicagoAPAMMerriam-Webster

   «Прямо.» Словарь Merriam-Webster. com , Merriam-Webster, https://www.merriam-webster.com/dictionary/straight-ahead. Доступ 11 мая. 2023.

   Ссылка на копию

   Последнее обновление:
   13 апр 2023
   — Обновлены примеры предложений

   Подпишитесь на крупнейший словарь Америки и получите тысячи дополнительных определений и расширенный поиск без рекламы!

   Merriam-Webster без сокращений

   Можете ли вы решить 4 слова сразу?

   Можете ли вы решить 4 слова сразу?

   последствия
   

   См.