Прикладная геодезия

12Следующая ⇒

51. Геодезическое трассирование – комплекс геодезических работ по проложению трассы.

52. Ось трассы проектирования – ось проектируемого линейного сооружения, обозначенная на местности или нанесенная на графический документ.

53. Круговая кривая трассы – часть оси трассы проектируемого сооружения, представляющего собой дугу окружности.

54. Переходная кривая трассы – часть оси трассы проектируемого сооружения, представляющая собой кривую переменного радиуса.

55. Прямая вставка трассы – прямая часть оси трассы проектируемого сооружения, расположенная между двумя смежными круговыми или переходными кривыми.

56. Вертикальная кривая трассы – часть оси трассы проектируемого сооружения, представляющая собой кривую, лежащую в вертикальной плоскости.

57. Продольный профиль трассы – профиль местности по оси трассы проектируемого сооружения.

58. Поперечный профиль трассы – профиль местности по линии, перпендикулярной к оси трассы проектируемого сооружения.

59. Детальная разбивка кривой – вынос точек кривой на местность через заданные интервалы.

60. Главные точки кривой – точки начала, конца и середины кривой трассы.

61. Тангенс кривой – отрезок прямой, соединяющий вершину угла поворота трассы с концом кривой.

62. Биссектриса кривой – отрезок прямой, соединяющий вершину угла поворота трассы с середины кривой.

63. Пикетаж трассы – система обозначения и закрепления точек трассы.

Пикет трассы – точка оси трассы, предназначенная для закрепления заданного интервала.

64. Проект вертикальной планировки – технический документ, определяющий преобразование рельефа местности для интенсивных целей.

65. Проектная отметка – высота точки относительно исходного уровня, заданная проектом.

66. Фактическая отметка – существенная высота точки относительно исходного уровня.

67. Точка нулевых работ – точка, в которой проектная и фактическая отметки равны.

68. Разбивочный чертеж – чертеж, соединяющий все необходимые данные для перенесения отдельных элементов сооружения в натуру.

69. Разбивочный чертеж – геодезическая сеть создаваемая для перенесения проекта в натуру.

70. Разбивочная сеть – геодезическая сеть создаваемая для перенесения проекта в натуру.

71. Строительная геодезическая сетка – геодезическая сеть в виде системы квадратов или прямоугольников, ориентированных параллельно большинству разбивочных осей сооружений.

72. Редуцирование строительной сетки – перемещение на местности пунктов строительной геодезической сетки в положение, заданное практикой.

73. Разбивочная ось – ось сооружения, по отношению к которой в разбивочных чертежах указываются данные для выноса в натуру сооружения или отдельных его частей.

74. Монтажная линия – линия, закрепленная на местности, относительно которой устанавливаются конструкции, станки, механизмы и технологическое оборудование в проектное положение.

75. Монтажная геодезическая сетка – геодезическая сеть в виде системы квадратов или прямоугольников, предназначенная для переноса в натуру осей агрегатов и выполнения квадратных измерений.

76. Створ – вертикальная плоскость, переходящая через две данные точки.

77. Контрольный пункт створа – пункт, служащий для определения сдвигов наблюдаемых точек в направлении, перпендикулярной створу.

78. Створные наблюдения – метод определения горизонтальных смещений точек по уклонениям контрольных пунктов от створа.

Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 635; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

К

6.4: Длина дуги кривой и площадь поверхности

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• Гилберт Стрэнг и Эдвин «Джед» Герман
• OpenStax

Цели обучения

• Определить длину кривой \(y=f(x)\) между двумя точками.
• Определить длину кривой \(x=g(y)\) между двумя точками.
• Найдите площадь поверхности тела вращения.

В этом разделе мы используем определенные интегралы для нахождения длины дуги кривой. Мы можем думать о длины дуги как о расстоянии, которое вы прошли бы, если бы шли по пути кривой. Во многих реальных приложениях используется длина дуги. Если ракета запускается по параболической траектории, мы можем захотеть узнать, как далеко пролетит ракета. Или, если кривая на карте представляет собой дорогу, мы можем захотеть узнать, какое расстояние нам нужно проехать, чтобы добраться до пункта назначения.

Мы начнем с вычисления длины дуги кривых, определенных как функции \(x\), затем исследуем тот же процесс для кривых, определенных как функции \(y\). (Процесс идентичен, но роли \(x\) и \(y\) поменялись местами.) Методы, которые мы используем для определения длины дуги, можно расширить, чтобы найти площадь поверхности вращения, и мы замыкаем раздел с рассмотрением этого понятия.

Длина дуги кривой y = f(x)

В предыдущих приложениях интегрирования мы требовали, чтобы функция \( f(x)\) была интегрируемой или, самое большее, непрерывной. Однако для расчета длины дуги у нас есть более строгие требования к \(f(x)\). Здесь мы требуем, чтобы \(f(x)\) было дифференцируемым, и, кроме того, мы требуем, чтобы его производная, \(f′(x),\), была непрерывной. Такие функции, которые имеют непрерывные производные, называются гладкий. (Это свойство снова появится в последующих главах.)

Пусть \(f(x)\) — гладкая функция, определенная над \([a,b]\). Мы хотим вычислить длину кривой от точки \( (a,f(a))\) до точки \( (b,f(b))\). Начнем с использования линейных сегментов для аппроксимации длины кривой. Для \(i=0,1,2,…,n\) пусть \(P={x_i}\) будет обычным разделом \([a,b]\). Затем для \( i=1,2,…,n\) построить отрезок от точки \( (x_{i−1},f(x_{i−1}))\) до точки \ ((x_i,f(x_i))\). Хотя может показаться логичным использовать либо горизонтальные, либо вертикальные сегменты линий, мы хотим, чтобы наши сегменты линий как можно точнее аппроксимировали кривую. На рисунке \(\PageIndex{1}\) показана эта конструкция для \( n=5\).

Рисунок \(\PageIndex{1}\): Мы можем аппроксимировать длину кривой, добавляя отрезки.

Чтобы помочь нам найти длину каждого сегмента линии, мы смотрим на изменение расстояния по вертикали, а также изменение расстояния по горизонтали на каждом интервале. Поскольку мы использовали регулярное разбиение, изменение расстояния по горизонтали на каждом интервале определяется выражением \(Δx\). Однако изменение расстояния по вертикали варьируется от интервала к интервалу, поэтому мы используем \( Δy_i=f(x_i)−f(x_{i−1})\) для представления изменения расстояния по вертикали за интервал \([x_ {i−1},x_i]\), как показано на рисунке \(\PageIndex{2}\). Обратите внимание, что некоторые (или все) \( Δy_i\) могут быть отрицательными. 9{3/2}\). Вычислите длину дуги графика \(f(x)\) на интервале \([0,1]\). Округлите ответ до трех знаков после запятой.

Подсказка

Используйте процесс из предыдущего примера. Не забудьте изменить пределы интегрирования.

Ответить

\[ \dfrac{1}{6}(5\sqrt{5}−1)≈1,697 \номер\]

Хотя хорошо иметь формулу для вычисления длины дуги, эта конкретная теорема может генерировать выражения, которые трудно интегрировать. Мы изучаем некоторые методы интеграции во Введении в методы интеграции. В некоторых случаях нам, возможно, придется использовать компьютер или калькулятор для аппроксимации значения интеграла. 92}\,dx ≈ 8,26815. \nonumber \]

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Пусть \( f(x)=\sin x\). Вычислите длину дуги графика \(f(x)\) на интервале \([0,π]\). Используйте компьютер или калькулятор, чтобы приблизить значение интеграла.

Подсказка

Используйте процесс из предыдущего примера.

Ответить

\[ \text{Длина дуги} ≈ 3,8202 \номер\]

Длина дуги кривой \(x = g(y)\)

Мы только что видели, как аппроксимировать длину кривой с помощью отрезков. Если мы хотим найти длину дуги графика функции \(y\), мы можем повторить тот же процесс, за исключением того, что мы разделяем ось y вместо оси x. На рисунке \(\PageIndex{3}\) показан репрезентативный сегмент линии.

Рисунок \(\PageIndex{3}\): репрезентативный отрезок линии на интервале \([y_{i−1},y_i].\)

Тогда длина отрезка равна 94}dy≈21.0277.\номер \]

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Пусть \(g(y)=1/y\). Вычислите длину дуги графика \(g(y)\) на интервале \([1,4]\). Используйте компьютер или калькулятор, чтобы приблизить значение интеграла.

Подсказка

Используйте процесс из предыдущего примера.

Ответить

\[\text{Длина дуги} =3,15018 \номер\]

Площадь поверхности вращения

Понятия, которые мы использовали для определения длины дуги кривой, можно расширить, чтобы найти площадь поверхности вращения. Площадь поверхности — это общая площадь внешнего слоя объекта. Для таких объектов, как кубы или кирпичи, площадь поверхности объекта равна сумме площадей всех его граней. Для криволинейных поверхностей ситуация немного сложнее. Пусть \(f(x)\) — неотрицательная гладкая функция на отрезке \([a,b]\). Мы хотим найти площадь поверхности вращения, созданной вращением графика \(y=f(x)\) вокруг оси \(x\), как показано на следующем рисунке.

Рисунок \(\PageIndex{4}\): (a) Кривая, представляющая функцию \(f(x)\). (b) Поверхность вращения, образованная вращением графика \(f(x)\) вокруг \(оси x\).

Как мы уже делали много раз раньше, мы собираемся разбить интервал \([a,b]\) и аппроксимировать площадь поверхности, вычислив площадь поверхности более простых форм. Мы начнем с использования линейных сегментов для аппроксимации кривой, как мы делали ранее в этом разделе. Для \(i=0,1,2,…,n\) пусть \(P={x_i}\) будет обычным разделом \([a,b]\). Затем для \(i=1,2,…,n,\) построить отрезок от точки \((x_{i−1},f(x_{i−1}))\) до точки \ ((x_i,f(x_i))\). Теперь вращайте эти отрезки вокруг оси \(x\), чтобы создать аппроксимацию поверхности вращения, как показано на следующем рисунке.

Рисунок \(\PageIndex{5}\): (a) Аппроксимация \(f(x)\) отрезками. (b) Поверхность вращения, образованная вращением отрезков вокруг \(оси x\).

Обратите внимание, что когда каждый сегмент линии вращается вокруг оси, образуется полоса. Эти полосы на самом деле представляют собой кусочки рожков (представьте себе рожок мороженого с отрезанным заостренным концом). Часть такого конуса называется усеченным конуса.

Чтобы найти площадь поверхности полосы, нам нужно найти площадь боковой поверхности \(S\) усеченного конуса (площадь только наклонной наружной поверхности усеченного конуса, не включая площади вершины или нижние грани). Пусть \(r_1\) и \(r_2\) — радиусы широкого и узкого концов усеченного конуса соответственно, а \(l\) — наклонная высота усеченного конуса, как показано на следующем рисунке.

Рисунок \(\PageIndex{6}\): Усеченный конус может аппроксимировать небольшую часть площади поверхности.

Мы знаем, что площадь боковой поверхности конуса определяется выражением

\[\text{Площадь боковой поверхности } =πrs, \nonnumber \]

, где \(r\) — радиус основания конуса, а \ (s\) — это высота наклона (рис. \(\PageIndex{7}\)).

Рисунок \(\PageIndex{7}\): Площадь боковой поверхности конуса определяется выражением \(πrs\).

Поскольку усеченный конус можно рассматривать как часть конуса, площадь боковой поверхности усеченного конуса равна площади боковой поверхности всего конуса за вычетом площади боковой поверхности меньшего конуса (заостренного кончика), который был срезан. выключено (рис. \(\PageIndex{8}\)).

Рисунок \(\PageIndex{8}\): Расчет площади боковой поверхности усеченного конуса.

Сечения малого конуса и большого конуса представляют собой подобные треугольники, поэтому мы видим, что

\[ \dfrac{r_2}{r_1}=\dfrac{s−l}{s} \nonumber \]

Находя \(s\), получаем =s−ls

\[\begin{align*} \dfrac{r_2}{r_1} &=\dfrac{s−l}{s} \\ r_2s &=r_1 (s−l) \\ r_2s &=r_1s−r_1l \\ r_1l &=r_1s−r_2s \\ r_1l &=(r_1−r_2)s \\ \dfrac{r_1l}{r_1−r_2} =s \end{align *}\] 92_2)l}{r_1−r_2}=\dfrac{π(r_1−r+2)(r1+r2)l}{r_1−r_2} \\[4pt] &= π(r_1+r_2)l. \label{eq20} \end{align*} \]

Теперь воспользуемся этой формулой для расчета площади поверхности каждой из полос, образованных вращением отрезков линии вокруг \(оси x\). Репрезентативная полоса показана на следующем рисунке.

Рисунок \(\PageIndex{9}\): репрезентативная полоса, используемая для определения площади поверхности.

Обратите внимание, что наклонная высота этой усеченной пирамиды равна длине отрезка, использованного для ее создания. Итак, применяя формулу площади поверхности, мы имеем 92}) \end{align*}\]

Как и в случае с длиной дуги, мы можем провести аналогичное развитие для функций \(y\), чтобы получить формулу для площади поверхностей вращения вокруг \(y- ось\). Эти выводы резюмируются в следующей теореме.

Площадь поверхности вращения

Пусть \(f(x)\) — неотрицательная гладкая функция на интервале \([a,b]\). Тогда площадь поверхности вращения, образованной вращением графика \(f(x)\) вокруг оси x, равна 92}dy \nonumber \]

Пример \(\PageIndex{4}\): Расчет площади поверхности вращения 1.

Пусть \(f(x)=\sqrt{x}\) над интервал \([1,4]\). Найдите площадь поверхности, образованной вращением графика \(f(x)\) вокруг оси \(x\). Округлите ответ до трех знаков после запятой.

Решение

График \(f(x)\) и поверхность вращения показаны на рисунке \(\PageIndex{10}\).

Рисунок \(\PageIndex{10}\): (a) График \(f(x)\). (б) Поверхность вращения. 9{17/4}_{5/4} \\[4pt] &=\dfrac{π}{6}[17\sqrt{17}−5\sqrt{5}]≈30,846 \end{align*}\ ]

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

Пусть \( f(x)=\sqrt{1−x}\) на интервале \([0,1/2]\). Найдите площадь поверхности, образованной вращением графика \(f(x)\) вокруг оси \(x\). Округлите ответ до трех знаков после запятой.

Подсказка

Используйте процесс из предыдущего примера.

Ответ

\[ \dfrac{π}{6}(5\sqrt{5}−3\sqrt{3})≈3,133 \nonnumber \]

Пример \( \PageIndex{5}\): Расчет площади поверхности вращения 2

Пусть \( f(x)=y=\dfrac[3]{3x}\). 3\). График \(g(y)\) и поверхность вращения показаны на следующем рисунке. 92}\) на интервале \( y∈[0,2]\). Найдите площадь поверхности, образованной вращением графика \(g(y)\) вокруг оси \(y\).

Подсказка

Используйте процесс из предыдущего примера.

Ответить

\( 12π\)

Ключевые понятия

• Длину дуги кривой можно рассчитать с помощью определенного интеграла.
• Длина дуги сначала аппроксимируется с помощью отрезков прямой, в результате чего получается сумма Римана. Принятие предела дает нам формулу определенного интеграла. Тот же процесс можно применить к функциям \(y\).
• Понятия, используемые для расчета длины дуги, можно обобщить, чтобы найти площадь поверхности вращения.
• Интегралы, полученные по формулам длины дуги и площади поверхности, часто трудно вычислить. Может потребоваться использование компьютера или калькулятора для аппроксимации значений интегралов. 92})dx\)

  Глоссарий

  длина дуги

  длину дуги кривой можно рассматривать как расстояние, которое человек прошел бы по пути кривой

  усеченный конус

  часть конуса; усеченный конус строится путем разрезания конуса плоскостью, параллельной основанию

  площадь поверхности

  площадь поверхности твердого тела – это общая площадь внешнего слоя объекта; для таких объектов, как кубы или кирпичи, площадь поверхности объекта равна сумме площадей всех его граней

  ---

  Эта страница под заголовком 6.4: Длина дуги кривой и площадь поверхности используется в соответствии с лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Гилбертом Стрэнгом и Эдвином «Джедом» Германом (OpenStax) через исходный контент, отредактированный в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

  1. Наверх
  • Была ли эта статья полезной?

  1. Тип изделия

     Раздел или Страница

     Автор

     ОпенСтакс

     Лицензия

     CC BY-NC-SA

     Версия лицензии

     4,0

     Программа OER или Publisher

     ОпенСтакс

     Показать страницу TOC

     нет

  2. Теги

     1. длина дуги
     2. автор @ Эдвин «Джед» Герман
     3. автор@Гилберт Странг
     4. усеченный
     5. источник@https://openstax. org/details/books/calculus-volume-1
     6. площадь поверхности
     7. поверхность вращения

  6.1 Угол поворота и угловая скорость – Физика

  Раздел Цели обучения
  

  К концу этого раздела вы сможете делать следующее:

  • Описывать угол поворота и связывать его с его линейным аналогом
  • Опишите угловую скорость и свяжите ее с ее линейным аналогом
  • Решить задачи на угол поворота и угловую скорость

  Поддержка учителей
  

  Поддержка учителей
  

  Цели обучения в этом разделе помогут вашим учащимся освоить следующие стандарты:

  • (4) Научные концепции. Учащийся знает и применяет законы, управляющие движением, в различных ситуациях. Ожидается, что студент:
    • (C) анализировать и описывать ускоренное движение в двух измерениях, используя уравнения, включая примеры снарядов и окружностей.

  Основные термины раздела

  Угол поворота

  Что именно мы подразумеваем под круговым движением или вращением ? Вращательное движение – это круговое движение объекта вокруг оси вращения. Мы обсудим конкретно круговое движение и вращение. Круговое движение — это когда объект движется по круговой траектории. Примеры кругового движения включают в себя гоночный автомобиль, мчащийся по круговой кривой, игрушку, прикрепленную к веревке, которая качается по кругу вокруг вашей головы, или круговое петля за петлей на американских горках. Вращение — это вращение вокруг оси, проходящей через центр масс объекта, например, Земля, вращающаяся вокруг своей оси, колесо, вращающееся вокруг своей оси, вращение торнадо на пути разрушения или вращение фигуриста во время выступление на Олимпиаде. Иногда объекты будут вращаться во время кругового движения, например Земля, вращающаяся вокруг своей оси, вращаясь вокруг Солнца, но мы сосредоточимся на этих двух движениях отдельно.

  Поддержка учителей
  

  Поддержка учителей
  

  [BL][OL] Объясните разницу между круговым и вращательным движением, используя вращение Земли вокруг своей оси и ее вращение вокруг Солнца. Объясните, что вращение Земли слегка эллиптическое, хотя и очень близкое к круговому.

  [OL][AL] Попросите учащихся привести примеры кругового движения.

  При решении задач, связанных с вращательным движением, мы используем переменные, которые аналогичны линейным переменным (расстояние, скорость, ускорение и сила), но учитывают кривизну или вращение движения. Здесь мы определяем угол поворота, который является угловым эквивалентом расстояния; и угловая скорость, которая является угловой эквивалентностью линейной скорости.

  Когда объекты вращаются вокруг некоторой оси — например, когда компакт-диск на рис. 6.2 вращается вокруг своего центра — каждая точка объекта движется по круговой траектории.

  Рисунок
  6.2

  Все точки на компакт-диске движутся по круговым траекториям. Ямки (точки) вдоль линии от центра к краю перемещаются на один и тот же угол ΔθΔθ за время ΔtΔt.

  Длина дуги , , это расстояние, пройденное по круговой траектории. Радиус кривизны, r , является радиусом кругового пути. Оба показаны на рис. 6.3.

  Рисунок
  6.3

  Радиус ( r ) окружности повернут на угол ΔθΔθ. Длина дуги, ΔsΔs, представляет собой расстояние, пройденное по окружности.

  Рассмотрим линию от центра компакт-диска к его краю. В заданное время каждая яма (используемая для записи информации) на этой линии перемещается на один и тот же угол. Угол поворота представляет собой величину поворота и является угловым аналогом расстояния. Угол поворота ΔθΔθ — это длина дуги, деленная на радиус кривизны.

  Δθ=ΔсрΔθ=Δср

  Угол поворота часто измеряется в радианах. (Радианы на самом деле безразмерны, потому что радиан определяется как отношение двух расстояний, радиуса и длины дуги.) Оборот — это один полный оборот, когда каждая точка на окружности возвращается в исходное положение. Один оборот покрывает 2π2π радиан (или 360 градусов) и, следовательно, имеет угол поворота 2π2π радиан и длину дуги, которая равна длине окружности. Мы можем преобразовать радианы, обороты и градусы, используя соотношение

  1 оборот = 2π2π рад = 360°. См. Таблицу 6.1 для преобразования градусов в радианы для некоторых распространенных углов.

  2π рад=360°1рад=360°2π≈57,3°2π рад=360°1рад=360°2π≈57,3°

  6,1

  Градусы	Радиан Меры
  30∘30∘	π6π6
  60∘60∘	π3π3
  90∘90∘	π2π2
  120∘120∘	2π32π3
  135∘135∘	3π43π4
  180∘180∘	ππ

  Стол
  6. 1

  Обычно используемые углы в градусах и радианах

  Угловая скорость

  Поддержка учителей
  

  Поддержка учителей
  

  [BL] Просмотр перемещения, скорости, скорости, ускорения.

  [AL] Спросите учащихся, изменяется ли скорость при равномерном круговом движении. А как насчет скорости? А ускорение?

  Как быстро вращается объект? Мы можем ответить на этот вопрос, используя понятие угловой скорости. Сначала рассмотрим угловую скорость (ω)(ω) — скорость изменения угла поворота. В форме уравнения угловая скорость равна

  .
  ω=ΔθΔt,ω=ΔθΔt,

  6,2

  , что означает, что угловой поворот (Δθ)(Δθ) происходит за время ΔtΔt. Если объект поворачивается на больший угол поворота за заданное время, он имеет большую угловую скорость. Единицами угловой скорости являются радианы в секунду (рад/с).

  Теперь давайте рассмотрим направление угловой скорости, а значит мы теперь должны называть ее угловой скоростью. Направление угловой скорости вдоль оси вращения. Для объекта, вращающегося по часовой стрелке, угловая скорость направлена ​​от вас вдоль оси вращения. Для объекта, вращающегося против часовой стрелки, угловая скорость указывает на вас вдоль оси вращения.

  Угловая скорость (ω) представляет собой угловую версию линейной скорости v . Тангенциальная скорость – это мгновенная линейная скорость объекта, находящегося во вращательном движении . Чтобы получить точное соотношение между угловой скоростью и тангенциальной скоростью, снова рассмотрим ямку на вращающемся компакт-диске. Эта яма движется по длине дуги (Δs)(Δs) за короткое время (Δt)(Δt), поэтому ее тангенциальная скорость равна

  v=ΔsΔt.v=ΔsΔt.

  6.3

  Из определения угла поворота Δθ=ΔsrΔθ=Δsr видно, что Δs=rΔθΔs=rΔθ . Подставляя это в выражение для v , получаем

  .

  v=rΔθΔt=rω. v=rΔθΔt=rω.

  Уравнение v=rωv=rω говорит, что тангенциальная скорость v пропорциональна расстоянию r от центра вращения. Следовательно, тангенциальная скорость больше для точки на внешнем краю компакт-диска (с большими r ), чем для точки ближе к центру компакт-диска (с меньшими r ). Это имеет смысл, потому что точка, расположенная дальше от центра, должна пройти большую длину дуги за то же время, что и точка, расположенная ближе к центру. Обратите внимание, что обе точки по-прежнему будут иметь одинаковую угловую скорость, независимо от их расстояния от центра вращения. См. рисунок 6.4.

  Рисунок
  6.4

  Точки 1 и 2 поворачиваются на один и тот же угол (ΔθΔθ), но точка 2 перемещается на большую длину дуги (Δs2Δs2), поскольку она находится дальше от центра вращения.

  Поддержка учителей
  

  Поддержка учителей
  

  [AL] Объясните, что период времени ΔtΔt в уравнении, определяющем тангенциальную скорость ( v=ΔsΔtv=ΔsΔt ), должен быть коротким, чтобы дугу, описываемую движущимся объектом, можно было аппроксимировать прямой линией. Это позволяет нам определить направление тангенциальной скорости как касательное к окружности. Это приближение становится все более точным по мере того, как ΔtΔt становится все меньше.

  Теперь рассмотрим другой пример: шина движущегося автомобиля (см. рис. 6.5). Чем быстрее вращается шина, тем быстрее движется автомобиль — большое ωω означает большое против , потому что v=rωv=rω. Точно так же шина большего радиуса, вращающаяся с той же угловой скоростью ωω, создаст для автомобиля большую линейную (тангенциальную) скорость v, . Это связано с тем, что больший радиус означает, что более длинная дуга должна касаться дороги, поэтому автомобиль должен двигаться дальше за то же время.

  Рисунок
  6,5

  Автомобиль, движущийся со скоростью v, вправо, имеет шину, вращающуюся с угловой скоростью ωω. Скорость протектора шины относительно оси v , такая же, как если бы автомобиль был поднят на домкрат и колеса крутились, не касаясь дороги. Непосредственно под осью, где шина касается дороги, протектор шины движется назад относительно оси с тангенциальной скоростью v=rωv=rω, где r — радиус шины. Поскольку дорога неподвижна относительно этой точки шины, автомобиль должен двигаться вперед с линейной скоростью в . Большая угловая скорость шины означает большую линейную скорость автомобиля.

  Однако бывают случаи, когда линейная скорость и тангенциальная скорость не эквивалентны, например, когда колеса автомобиля крутятся на льду. В этом случае линейная скорость будет меньше тангенциальной скорости. Из-за отсутствия трения под шинами автомобиля на льду длина дуги, по которой перемещаются протекторы шин, больше, чем линейное расстояние, по которому движется автомобиль. Это похоже на бег на беговой дорожке или вращение педалей на велотренажере; вы буквально никуда не денетесь.

  Советы для успеха
  

  Угловая скорость ω и тангенциальная скорость v являются векторами, поэтому мы должны указать величину и направление. Направление угловой скорости находится вдоль оси вращения и указывает от вас для объекта, вращающегося по часовой стрелке, и к вам для объекта, вращающегося против часовой стрелки. В математике это описывается правилом правой руки. Тангенциальная скорость обычно описывается как восходящая, нисходящая, левая, правая, северная, южная, восточная или западная, как показано на рис. 6.6.

  Рисунок
  6.6

  Поскольку муха на краю старой виниловой пластинки движется по кругу, ее мгновенная скорость всегда направлена ​​по касательной к кругу. В этом случае направление угловой скорости находится на странице.

  Смотреть физику
  

  Связь между угловой скоростью и скоростью
  

  В этом видео рассматриваются определение и единицы измерения угловой скорости, а также их связь с линейной скоростью. Он также показывает, как конвертировать между оборотами и радианами.

  Для объекта, движущегося по круговому пути с постоянной угловой скоростью, изменится ли линейная скорость объекта, если радиус пути увеличится?

  1. Да, поскольку тангенциальная скорость не зависит от радиуса.

  2. Да, потому что тангенциальная скорость зависит от радиуса.

  3. Нет, потому что тангенциальная скорость не зависит от радиуса.

  4. Нет, так как тангенциальная скорость зависит от радиуса.

  Решение задач на угол поворота и угловую скорость

  Снап Лаборатория
  

  Измерение угловой скорости
  

  В этом упражнении вы создадите и измерите равномерное круговое движение, а затем сопоставите его с круговыми движениями с разными радиусами.

  • Одна струна (длина 1 м)
  • Один предмет (резиновая пробка с двумя отверстиями) для привязки к концу
  • Один таймер

  Процедура

  1. Привязать объект к концу строки.
  2. Раскачивайте объект по горизонтальному кругу над головой (раскачивание с запястья). Важно, чтобы круг был горизонтальным!
  3. Поддерживайте постоянную скорость объекта при его раскачивании.
  4. Таким образом измерьте угловую скорость объекта. Измерьте время в секундах, за которое объект совершает 10 оборотов. Разделите это время на 10, чтобы получить угловую скорость в оборотах в секунду, которую вы можете преобразовать в радианы в секунду.
  5. Какова примерная линейная скорость объекта?
  6. Поднимите руку вверх по веревке так, чтобы длина веревки составила 90 см. Повторите шаги 2–5.
  7. Переместите руку вверх по веревке так, чтобы ее длина составила 80 см. Повторите шаги 2–5.
  8. Переместите руку вверх по веревке так, чтобы ее длина составила 70 см. Повторите шаги 2–5.
  9. Переместите руку вверх по веревке так, чтобы ее длина составила 60 см. Повторите шаги 2–5
  10. Переместите руку вверх по веревке так, чтобы ее длина составила 50 см. Повторите шаги 2–5
  11. Построить графики зависимости угловой скорости от радиуса (т.е. длины струны) и линейной скорости от радиуса. Опишите, как выглядит каждый график.

  Если медленно раскачивать объект, он может вращаться со скоростью менее одного оборота в секунду. Каковы были бы обороты в секунду для объекта, который делает один оборот за пять секунд? Какова будет его угловая скорость в радианах в секунду?

  1. Объект будет вращаться со скоростью \frac{1}{5}\,\text{об/с}. Угловая скорость объекта будет \frac{2\pi}{5}\,\text{rad/s}.

  2. Объект будет вращаться со скоростью \frac{1}{5}\,\text{об/с}. Угловая скорость объекта будет \frac{\pi}{5}\,\text{рад/с}.

  3. Объект будет вращаться со скоростью 5\,\text{об/с}. Угловая скорость объекта будет 10\pi\,\text{rad/s}.

  4. Объект будет вращаться со скоростью 5\,\text{об/с}. Угловая скорость объекта будет 5\pi\,\text{rad/s}.

  Теперь, когда у нас есть понимание концепций угла поворота и угловой скорости, мы применим их к реальным ситуациям башни с часами и вращающейся шины.

  Рабочий пример
  

  Угол поворота часовой башни
  

  Часы на башне с часами имеют радиус 1,0 м. а) На какой угол поворачивается часовая стрелка часов, когда она движется с 12 часов дня до 12 часов дня. до 15:00? (b) Какова длина дуги по внешнему краю часов между часовой стрелкой в ​​эти два времени?

  Стратегия
  

  Мы можем вычислить угол поворота, умножив полный оборот (2π2π радиан) на долю 12 часов, покрываемых часовой стрелкой при переходе от 12 к 3. Получив угол поворота, мы можем найти длину дуги, переформулировав уравнение Δθ=ΔsrΔθ=Δsr, поскольку радиус задан.

  Решение задачи (a)

  При переходе от 12 к 3 часовая стрелка покрывает 1/4 из 12 часов, необходимых для совершения полного оборота. Следовательно, угол между часовой стрелкой в ​​положении 12 и 3 равен 14×2πrad=π214×2πrad=π2 (т. е. 90 градусов).

  Решение (б)

  Преобразовывая уравнение

  Δθ=Δsr,Δθ=Δsr,

  6,4

  получаем

  Δs=rΔθ.Δ с=rΔθ.

  6,5

  Подстановка известных значений дает длину дуги

  Δs=(1,0 м)(π2рад)=1,6 мΔs=(1,0 м)(π2рад)=1,6 м обсуждение

  Мы смогли отбросить радианы из окончательного решения в часть (b), потому что радианы на самом деле безразмерны. Это связано с тем, что радиан определяется как отношение двух расстояний (радиуса и длины дуги). Таким образом, формула дает ответ в метрах, как и ожидалось для длины дуги.

  Рабочий пример
  

  Как быстро вращается автомобильная шина?
  

  Рассчитайте угловую скорость автомобильной шины радиусом 0,300 м, когда автомобиль движется со скоростью 15,0 м/с (около 54 км/ч). См. рисунок 6.5.

  Стратегия
  

  В этом случае скорость протектора шины относительно оси шины равна скорости автомобиля относительно дороги, поэтому мы имеем v = 15,0 м/с. Радиус шины r = 0,300 м. Так как мы знаем v и r , мы можем изменить уравнение v=rωv=rω, чтобы получить ω=vrω=vr и найти угловую скорость.

  Решение

  Чтобы найти угловую скорость, мы используем соотношение: ω=vrω=vr .

  Подстановка известных величин дает

  ω=15,0 м/с0,300 м=50,0 рад/с.ω=15,0 м/с0,300 м=50,0 рад/с.

  6,7

  Обсуждение

  Когда мы отбрасываем единицы измерения в приведенном выше расчете, мы получаем 50,0/с (т. е. 50,0 в секунду, что обычно записывается как 50,0 с ⁻¹ ). Но угловая скорость должна иметь единицы рад/с. Поскольку радианы безразмерны, мы можем подставить их в ответ для угловой скорости, потому что мы знаем, что движение является круговым. Также обратите внимание, что если бы землеройная машина с колесами гораздо большего размера, скажем, радиусом 1,20 м, двигалась с той же скоростью 15,0 м/с, его колеса вращались бы медленнее. Они будут иметь угловую скорость

  ω=15,0 м/с1,20м=12,5рад/сω=15,0м/с1,20м=12,5рад/с

  6,8

  Практические задачи

  1.

  Чему равен угол в градусах между часовой и минутной стрелками часов, показывающих 9 часов утра?

  1. 0°
  2. 90°
  3. 180°
  4. 360°

  2.

  Каково приблизительное значение длины дуги между часовой и минутной стрелками часов, показывающих 10:00, если радиус часов равен 0,2 м?

  1. 0,1 м
  2. 0,2 м
  3. 0,3 м
  4. 0,6 м

  Проверьте свое понимание

  3.

  Что такое круговое движение?

  1. Круговое движение — это движение объекта по линейной траектории.

  2. Круговое движение — это движение объекта по зигзагообразной траектории.

  3. Круговое движение — это движение объекта по круговой траектории.

  4. Вариант D сбивает с толку как дистрактор

  4.

  Что подразумевается под радиусом кривизны при описании вращательного движения?

  1. Радиус кривизны — это радиус кругового пути.
  2. Радиус кривизны — это диаметр кругового пути.
  3. Радиус кривизны – это длина окружности кругового пути.
  4. Радиус кривизны – это площадь кругового пути.

  5.

  Что такое угловая скорость?

  1. Угловая скорость — это скорость изменения диаметра кругового пути.

  2. Угловая скорость — это скорость изменения угла, образуемого круговой траекторией.

  3. Угловая скорость – это скорость изменения площади кругового пути.

  4. Угловая скорость — это скорость изменения радиуса кругового пути.

  6.

  Какое уравнение определяет угловую скорость ω, если r — радиус кривизны, θ — угол, t — время?

  1. \omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta{t}}

  2. \omega = \frac{\Delta{t}}{\Delta\theta}

  3. \omega = \frac{\Delta{r}}{\Delta{t}}

  4. \omega = \frac{\Delta{t}}{\Delta{r}}

  7.

  Определите три примера движения объекта по кругу.

  1. искусственный спутник на орбите Земли, гоночный автомобиль, движущийся по круговой гоночной трассе, и волчок, вращающийся вокруг своей оси

  2. искусственный спутник на орбите Земли, гоночный автомобиль, движущийся по кольцевой гоночной трассе, и мяч, привязанный к веревке, раскачивается по кругу вокруг головы человека

  3. Земля вращается вокруг своей оси, гоночный автомобиль движется по круговой гоночной трассе, а мяч, привязанный к веревке, раскручивается по кругу вокруг головы человека

  4. Земля, вращающаяся вокруг своей оси, лопасти работающего потолочного вентилятора и волчок, вращающийся вокруг своей оси

  8.

  Какова относительная ориентация векторов радиуса и касательной скорости объекта при равномерном круговом движении?

  1. Вектор тангенциальной скорости всегда параллелен радиусу окружности, по которой движется объект.

  2. Вектор тангенциальной скорости всегда перпендикулярен радиусу окружности, по которой движется объект.

  3. Вектор тангенциальной скорости всегда находится под острым углом к ​​радиусу окружности, по которой движется объект.

  4. Вектор тангенциальной скорости всегда находится под тупым углом к ​​радиусу окружности, по которой движется объект.